Diagonale eines Quadrats

Mittelstufe

d = a \sqrt{2}

Voraussetzung: $a > 0$

$d$: Länge der Diagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken
$a$: Seitenlänge des Quadrats

Die Diagonale eines Quadrats ist die Seitenlänge mal Wurzel aus 2.

Quadrat mit der Seitenlänge a und der Diagonale d

Erklärung

Die Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken eines Quadrats. Sie teilt das Quadrat in zwei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Darin sind die beiden Seiten $a$ die Katheten und die Diagonale $d$ ist die Hypotenuse.

Kennt man die Diagonale, erhält man die Seitenlänge durch Umstellen:

a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d \sqrt{2}}{2}

Der Faktor $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ ist für jedes Quadrat gleich: Die Diagonale ist immer gut $41\,\%$ länger als die Seite.

Herleitung

Mit dem Satz des Pythagoras im halben Quadrat:

d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \quad\Rightarrow\quad d = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2}

Beispiele

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $5\,\text{cm}$ :

d = 5 \sqrt{2}\,\text{cm} = \sqrt{50}\,\text{cm} \approx 7{,}07\,\text{cm}

Die Diagonale eines quadratischen Tisches ist $12\,\text{dm}$ lang. Die Seitenlänge ist:

a = \frac{12}{\sqrt{2}}\,\text{dm} = 6\sqrt{2}\,\text{dm} \approx 8{,}49\,\text{dm}

Typische Fehler

$d = 2a$ rechnen. Die Diagonale ist kürzer als zwei Seiten, nämlich nur etwa $1{,}414$ -mal so lang wie eine Seite.
Beim Pythagoras die Wurzel nur auf $2$ ziehen und $a^2$ stehen lassen: $\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ , nicht $a^2\sqrt{2}$ . Für $a = 4$ : $\sqrt{2 \cdot 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ .
Beim Rückwärtsrechnen mit $\sqrt{2}$ multiplizieren statt durch $\sqrt{2}$ zu teilen.

Diagonale eines Quadrats