Sekanten-Tangenten-Satz

Oberstufe

\overline{PT}^{\,2} = \overline{PA} \cdot \overline{PB}

Voraussetzung: $P$ $liegt außerhalb des Kreises$

$P$: Punkt außerhalb des Kreises
$T$: Berührpunkt einer Tangente von P an den Kreis
$A, B$: die beiden Schnittpunkte einer Sekante durch P mit dem Kreis, A liegt näher an P

Von einem Punkt außerhalb des Kreises ist das Quadrat des Tangentenabschnitts gleich dem Produkt der Sekantenabschnitte.

Von P aus berührt die Tangente den Kreis in T, die Sekante schneidet ihn in A und B

Erklärung

Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises zieht man

eine Tangente, die den Kreis im Punkt $T$ berührt, und
eine Sekante, die den Kreis in $A$ und $B$ schneidet.

Der Satz verbindet die Längen: Das Quadrat des Tangentenabschnitts $\overline{PT}$ ist gleich dem Produkt aus dem kurzen Sekantenabschnitt $\overline{PA}$ und dem langen $\overline{PB}$ . Beide Sekantenabschnitte werden von $P$ aus gemessen.

Für zwei Sekanten durch $P$ folgt daraus der Sekantensatz: $\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}$ .

Liegt $P$ im Abstand $d$ vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius $r$ , gilt $\overline{PT}^{\,2} = d^2 - r^2$ . Das ist der Satz des Pythagoras im Dreieck $PTM$ mit dem rechten Winkel bei $T$ .

Herleitung

Die Dreiecke $PTA$ und $PBT$ sind ähnlich: Sie haben den Winkel bei $P$ gemeinsam, und der Winkel zwischen Tangente und Sehne $TA$ ist so groß wie der Umfangswinkel bei $B$ über derselben Sehne. Daraus folgt

\frac{\overline{PT}}{\overline{PA}} = \frac{\overline{PB}}{\overline{PT}} \quad\Rightarrow\quad \overline{PT}^{\,2} = \overline{PA} \cdot \overline{PB}

Beispiele

Eine Sekante von $P$ trifft den Kreis nach $4\,\text{cm}$ und verlässt ihn nach $9\,\text{cm}$ . Der Tangentenabschnitt ist

\overline{PT} = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\,\text{cm}

Kreis mit Radius $5$ um den Ursprung, $P(13 \mid 0)$ . Die Sekante entlang der x-Achse trifft den Kreis bei $x = 5$ und $x = -5$ , also $\overline{PA} = 8$ und $\overline{PB} = 18$ :

8 \cdot 18 = 144 = 12^2, \qquad \overline{PT} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12

Der Tangentenabschnitt ist $6\,\text{cm}$ , der kurze Sekantenabschnitt $3\,\text{cm}$ . Dann ist $\overline{PB} = \frac{36}{3} = 12\,\text{cm}$ , die Sehne im Kreis also $12 - 3 = 9\,\text{cm}$ lang.

Typische Fehler

Für $\overline{PB}$ nur die Sehne $\overline{AB}$ einsetzen. $\overline{PB}$ ist der ganze Weg von $P$ bis zum zweiten Schnittpunkt.
Die Wurzel am Ende vergessen: $\overline{PT}^{\,2} = 36$ heißt $\overline{PT} = 6$ .
Den Satz für einen Punkt innerhalb des Kreises anwenden. Dort gilt der Sehnensatz.

Sekanten-Tangenten-Satz