Innenwinkelsumme im Vieleck

Unterstufe

S = (n - 2) \cdot 180^\circ

Voraussetzung: $n \geq 3$

$S$: Summe aller Innenwinkel
$n$: Anzahl der Ecken

Die Innenwinkel eines Vielecks mit n Ecken ergeben zusammen (n − 2) · 180°.

Fünfeck (n = 5), von einer Ecke aus durch Diagonalen in n − 2 = 3 Dreiecke zerlegt

Erklärung

Ein Vieleck (auch Polygon oder n-Eck) hat $n$ Ecken und genauso viele Seiten. Die Formel sagt, wie groß alle Innenwinkel zusammen sind. Sie gilt für jedes Vieleck mit mindestens 3 Ecken, dessen Seiten sich nicht überkreuzen.

Für $n = 3$ erhält man $180^\circ$ , die bekannte Winkelsumme im Dreieck.

Herleitung

Man wählt eine Ecke und zeichnet von dort aus Strecken zu allen anderen Ecken (Diagonalen). So zerfällt ein konvexes Vieleck mit $n$ Ecken in $n - 2$ Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Winkelsumme $180^\circ$ , also zusammen $(n - 2) \cdot 180^\circ$ .

Hat das Vieleck eine einspringende Ecke (einen Innenwinkel über $180^\circ$ ), wählt man die Diagonalen etwas geschickter. Auch dann lässt es sich in $n - 2$ Dreiecke zerlegen, und die Formel gilt genauso.

Beispiele

Viereck, $n = 4$ :

S = (4 - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ

Fünfeck, $n = 5$ :

S = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ

Sechseck, $n = 6$ :

S = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ

Bei einem regelmäßigen Sechseck sind alle sechs Winkel gleich groß. Jeder Winkel ist dann $720^\circ : 6 = 120^\circ$ .

Typische Fehler

$n \cdot 180^\circ$ rechnen. Es sind nur $n - 2$ Dreiecke, nicht $n$ .
Die Winkelsumme durch $n$ teilen, obwohl das Vieleck nicht regelmäßig ist. Gleich große Winkel gibt es nur beim regelmäßigen Vieleck.

Innenwinkelsumme im Vieleck