Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks

Oberstufe

A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}

Voraussetzung: $n \ge 3$

$A$: Flächeninhalt
$n$: Anzahl der Ecken (und Seiten)
$a$: Seitenlänge

Ein regelmäßiges n-Eck mit der Seitenlänge a zerfällt in n gleiche Dreiecke; daraus folgt seine Fläche.

Regelmäßiges Fünfeck (n = 5) mit der Seitenlänge a, vom Mittelpunkt aus in n gleiche Dreiecke zerlegt

Erklärung

In einem regelmäßigen n-Eck sind alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Verbindet man den Mittelpunkt mit allen Ecken, entstehen $n$ gleiche, gleichschenklige Dreiecke. Jedes hat die Grundseite $a$ und am Mittelpunkt den Winkel $\frac{360^\circ}{n}$ .

Die Höhe eines solchen Dreiecks ist der Inkreisradius $\rho = \frac{a}{2 \tan(180^\circ/n)}$ . Damit:

A = n \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \rho = \frac{n a^2}{4 \tan(180^\circ/n)}

Kennt man statt der Seite den Umkreisradius $r$ , gilt

A = \frac{n}{2} \, r^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)

Für $n = 3$ , $4$ und $6$ ergeben sich die bekannten Formeln für das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck.

Beispiele

Regelmäßiges Fünfeck mit $a = 4\,\text{cm}$ :

A = \frac{5 \cdot 16}{4 \tan 36^\circ} = \frac{20}{\tan 36^\circ} \approx 27{,}53\,\text{cm}^2

Regelmäßiges Achteck mit $a = 2\,\text{cm}$ :

A = \frac{8 \cdot 4}{4 \tan 22{,}5^\circ} = 8\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 19{,}31\,\text{cm}^2

Typische Fehler

Im Tangens $360^\circ/n$ statt $180^\circ/n$ einsetzen. Der Tangens gehört zum halben Mittelpunktswinkel.
Den Taschenrechner im Bogenmaß-Modus haben, während man Gradwinkel eintippt.
Die Formel auf unregelmäßige Vielecke anwenden. Sie gilt nur, wenn alle Seiten und Winkel gleich sind.

Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks