Kugelkappe und Kugelsegment

Oberstufe

V = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h), \qquad M = 2 \pi r h

Voraussetzung: $0 < h \le 2r$

$V$: Volumen des Kugelsegments
$M$: Flächeninhalt der gewölbten Fläche (Kugelkappe), ohne Grundkreis
$r$: Radius der Kugel
$h$: Höhe des Segments, vom Grundkreis bis zum Pol

Volumen und gewölbte Fläche eines Stücks, das eine Ebene von einer Kugel abschneidet.

Kugel mit Radius r; eine Ebene schneidet das Kugelsegment der Höhe h ab, seine gewölbte Fläche ist die Kugelkappe

Erklärung

Schneidet eine Ebene eine Kugel, entstehen zwei Teile. Jeder Teil heißt Kugelsegment (Kugelabschnitt). Seine gewölbte Oberfläche ist die Kugelkappe (Kalotte). Die Schnittfläche ist ein Kreis, der Grundkreis.

Die Höhe $h$ misst man senkrecht vom Grundkreis bis zum höchsten Punkt der Kappe. Für $h < r$ ist das Segment kleiner als eine Halbkugel, für $h > r$ größer.

Den Radius $a$ des Grundkreises erhält man aus $a^2 = h(2r - h)$ . Damit gibt es gleichwertige Formen ohne $r$ :

V = \frac{\pi h}{6} \left(3a^2 + h^2\right), \qquad M = \pi \left(a^2 + h^2\right)

Die gesamte Oberfläche des Segments ist $M + \pi a^2$ .

Mit $h = 2r$ ergeben sich Volumen und Oberfläche der ganzen Kugel, mit $h = r$ die der Halbkugel.

Beispiele

Von einer Kugel mit $r = 5\,\text{cm}$ wird ein Segment der Höhe $h = 2\,\text{cm}$ abgeschnitten:

V = \frac{\pi \cdot 2^2}{3} \cdot (15 - 2) = \frac{52\pi}{3} \approx 54{,}45\,\text{cm}^3

M = 2\pi \cdot 5 \cdot 2 = 20\pi \approx 62{,}83\,\text{cm}^2

Der Grundkreis hat den Radius $a = \sqrt{2 \cdot (10 - 2)} = 4\,\text{cm}$ .

Typische Fehler

$h$ mit dem Abstand der Schnittebene vom Kugelmittelpunkt verwechseln. Dieser Abstand ist $|r - h|$ .
Bei der Kappe den Grundkreis mitzählen. $M = 2\pi r h$ ist nur die gewölbte Fläche.
Grundkreisradius $a$ und Kugelradius $r$ in den Formeln vertauschen.

Kugelkappe und Kugelsegment