Umfangswinkelsatz

Mittelstufe

\alpha = \frac{\mu}{2}

Voraussetzung: $Scheitel von$ $\alpha$ $auf dem Kreisbogen, der$ $\mu$ $gegenüberliegt$

$\alpha$: Umfangswinkel, sein Scheitel liegt auf dem Kreis, seine Schenkel gehen durch die Enden der Sehne
$\mu$: Mittelpunktswinkel, sein Scheitel liegt im Kreismittelpunkt, er steht über demselben Bogen

Jeder Umfangswinkel über einem Kreisbogen ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über diesem Bogen.

Umfangswinkel α und Mittelpunktswinkel μ über derselben Sehne

Erklärung

Eine Sehne teilt einen Kreis in zwei Bögen. Über dem einen Bogen betrachtet man zwei Arten von Winkeln:

den Mittelpunktswinkel $\mu$ mit dem Scheitel im Kreismittelpunkt,
die Umfangswinkel $\alpha$ mit dem Scheitel irgendwo auf dem anderen Bogen.

Der Satz sagt zweierlei:

Alle Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß, egal wo der Scheitel auf dem gegenüberliegenden Bogen liegt.
Jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.

Liegt der Scheitel dagegen auf dem Bogen, über dem $\mu$ steht, ist der Umfangswinkel $180^\circ - \alpha$ . Deshalb ergänzen sich gegenüberliegende Winkel in einem Sehnenviereck zu $180^\circ$ .

Der Satz des Thales ist der Sonderfall $\mu = 180^\circ$ : Ist die Sehne ein Durchmesser, sind alle Umfangswinkel $90^\circ$ .

Beispiele

Der Mittelpunktswinkel über einer Sehne ist $\mu = 110^\circ$ . Jeder Umfangswinkel auf dem gegenüberliegenden Bogen ist

\alpha = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ

Ein Umfangswinkel auf der anderen Seite der Sehne ist $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$ .

Ist die Sehne ein Durchmesser, gilt $\mu = 180^\circ$ und $\alpha = 90^\circ$ .

Typische Fehler

Verdoppeln statt halbieren: Der Mittelpunktswinkel ist der größere.
Umfangswinkel von verschiedenen Seiten der Sehne gleichsetzen. Gleich groß sind nur die auf demselben Bogen.
Einen Winkel als Umfangswinkel ansehen, dessen Scheitel nicht auf dem Kreis liegt.

Umfangswinkelsatz