Höhensatz

Erklärung

Der Höhensatz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Der rechte Winkel liegt bei $C$, gegenüber liegt die Hypotenuse $c$.

Fällt man vom rechten Winkel aus das Lot auf die Hypotenuse, erhält man die Höhe $h$. Ihr Fußpunkt teilt die Hypotenuse in zwei Stücke, die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$, mit $p + q = c$. Der Abschnitt $p$ liegt an der Kathete $a$, der Abschnitt $q$ an der Kathete $b$.

Der Satz sagt: Das Quadrat über der Höhe hat dieselbe Fläche wie das Rechteck aus $p$ und $q$. Zusammen mit dem Kathetensatz und dem Satz des Pythagoras bildet er die Satzgruppe des Pythagoras.

Herleitung

Die Höhe teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Nach Pythagoras gilt dort $a^2 = h^2 + p^2$ und $b^2 = h^2 + q^2$. Im großen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2 = (p + q)^2$. Einsetzen:

Beispiele

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$ und der Hypotenuse $c = 5\,\text{cm}$ sind die Hypotenusenabschnitte $p = 1{,}8\,\text{cm}$ (an $a$) und $q = 3{,}2\,\text{cm}$ (an $b$), zusammen $5\,\text{cm}$:

Die Höhe teilt die Hypotenuse in $p = 4\,\text{cm}$ und $q = 9\,\text{cm}$:

Typische Fehler

• Den Satz in einem Dreieck ohne rechten Winkel anwenden.
• Mit einer anderen Höhe rechnen. Gemeint ist nur die Höhe auf die Hypotenuse, also vom rechten Winkel aus.
• Am Ende die Wurzel vergessen: $h^2 = 36$ heißt $h = 6$.