Kathetensatz

Erklärung

Der Kathetensatz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Der rechte Winkel liegt bei $C$, die Hypotenuse $c$ liegt ihm gegenüber.

Die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse teilt $c$ in zwei Hypotenusenabschnitte: $p$ liegt an der Kathete $a$, $q$ an der Kathete $b$. Für jede Kathete gilt:

In Worten: Das Quadrat über einer Kathete hat dieselbe Fläche wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Abschnitt, der an dieser Kathete liegt.

Zur Kontrolle: Addiert man beide Gleichungen, ergibt sich wegen $p + q = c$ wieder $a^2 + b^2 = c \cdot (p + q) = c^2$. Das passt zum Satz des Pythagoras.

Herleitung

Im Teildreieck mit den Seiten $h$, $p$ und $a$ gilt nach Pythagoras $a^2 = h^2 + p^2$. Mit dem Höhensatz $h^2 = pq$ folgt:

Beispiele

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c = 10\,\text{cm}$ und den Abschnitt $p = 3{,}6\,\text{cm}$. Dann ist $q = 10\,\text{cm} - 3{,}6\,\text{cm} = 6{,}4\,\text{cm}$ und

Zur Kontrolle: $6^2 + 8^2 = 10^2$.

Gesucht ist umgekehrt der Abschnitt $p$, wenn $a = 5\,\text{cm}$ und $c = 13\,\text{cm}$ bekannt sind:

Typische Fehler

• $p$ und $q$ vertauschen. $p$ gehört zur Kathete $a$: Es ist der Abschnitt, der direkt an $a$ anliegt.
• Den Satz in einem Dreieck ohne rechten Winkel anwenden.
• Mit dem Höhensatz verwechseln: $h^2 = p \cdot q$, aber $a^2 = c \cdot p$.