Außenwinkelsatz

Erklärung

Verlängert man eine Seite eines Dreiecks über eine Ecke hinaus, entsteht dort ein Außenwinkel. Er ergänzt den Innenwinkel an dieser Ecke zu $180^\circ$, ist also sein Nebenwinkel.

Der Außenwinkelsatz sagt: Der Außenwinkel ist genauso groß wie die beiden Innenwinkel an den anderen zwei Ecken zusammen. Den Innenwinkel an derselben Ecke braucht man dafür nicht.

An jeder Ecke gilt das entsprechend: $\beta' = \alpha + \gamma$ und $\gamma' = \alpha + \beta$. Folgerung: Ein Außenwinkel ist immer größer als jeder der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

Herleitung

Der Außenwinkel und der Innenwinkel an derselben Ecke ergeben zusammen einen gestreckten Winkel: $\alpha' = 180^\circ - \alpha$. Nach dem Winkelsummensatz ist $\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma$. Eingesetzt:

Beispiele

In einem Dreieck sind $\beta = 50^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$. Der Außenwinkel bei $A$ ist:

Zur Kontrolle: $\alpha = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$, und $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ein Außenwinkel ist $135^\circ$ groß, einer der nicht anliegenden Innenwinkel ist ein rechter Winkel. Der andere ist dann:

Typische Fehler

• Den Innenwinkel an derselben Ecke mitzählen. Es zählen nur die beiden Innenwinkel an den anderen Ecken.
• Außenwinkel und Scheitelwinkel verwechseln. Der Außenwinkel liegt neben dem Innenwinkel auf der Verlängerung einer Seite.
• Annehmen, die drei Außenwinkel ergäben zusammen $180^\circ$. Die Summe der drei Außenwinkel (je einer pro Ecke) ist immer $360^\circ$.