Volumen eines Pyramidenstumpfs

Erklärung

Schneidet man eine Pyramide parallel zur Grundfläche durch, bleibt unten ein Pyramidenstumpf. Er hat zwei parallele Flächen: die größere Grundfläche $G$ und die kleinere Deckfläche $D$. Beide haben dieselbe Form, nur in verschiedener Größe.

Die Formel gilt für jede Form der Grundfläche, ob Dreieck, Quadrat oder Vieleck. Für einen Kegelstumpf mit $G = \pi R^2$ und $D = \pi r^2$ ergibt sie dessen bekannte Formel.

Ist $D = 0$, wird aus dem Stumpf eine vollständige Pyramide mit $V = \frac{1}{3} G h$.

Herleitung

Man ergänzt den Stumpf zu einer vollständigen Pyramide und zieht die kleine Pyramide an der Spitze ab. Für einen Stumpf mit quadratischen Flächen der Seiten $a$ und $b$ ist die Höhe der großen Pyramide nach dem Strahlensatz $H = \frac{ha}{a - b}$. Damit ist

und $ab = \sqrt{G \cdot D}$.

Beispiele

Ein Stumpf hat eine quadratische Grundfläche mit $6\,\text{cm}$ Seitenlänge, eine Deckfläche mit $3\,\text{cm}$ und die Höhe $4\,\text{cm}$. Also $G = 36\,\text{cm}^2$, $D = 9\,\text{cm}^2$:

Mit $G = 50\,\text{cm}^2$, $D = 8\,\text{cm}^2$ und $h = 6\,\text{cm}$:

Typische Fehler

• Den Mittelwert $\frac{G + D}{2} \cdot h$ nehmen. Das ergibt zu viel, denn der Stumpf ist kein Prisma.
• Seitenlängen statt Flächen für $G$ und $D$ einsetzen.
• Die schräge Kantenlänge statt der senkrechten Höhe verwenden.