Inkreisradius eines Dreiecks

Oberstufe

r = \frac{A}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}

$r$: Radius des Inkreises
$A$: Flächeninhalt des Dreiecks
$s$: halber Umfang des Dreiecks
$a, b, c$: Seitenlängen des Dreiecks

Der Radius des Inkreises ist der Flächeninhalt des Dreiecks geteilt durch den halben Umfang.

Dreieck mit den Seiten a, b, c und seinem Inkreis mit dem Radius r

Erklärung

Der Inkreis ist der Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks von innen berührt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.

Um den Radius zu berechnen, braucht man den Flächeninhalt $A$ und den halben Umfang $s$ . Sind nur die drei Seitenlängen bekannt, liefert der Satz des Heron die Fläche.

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ , $b$ und der Hypotenuse $c$ gibt es die kurze Form $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Man verbindet den Inkreismittelpunkt mit den drei Ecken. Es entstehen drei Dreiecke mit den Grundseiten $a$ , $b$ , $c$ . Ihre Höhe ist jeweils $r$ , weil der Inkreis jede Seite senkrecht zum Radius berührt:

A = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r \cdot s

Beispiele

Rechtwinkliges Dreieck mit $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ (in cm): $s = 6$ , $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ , also

r = \frac{6}{6} = 1\,\text{cm}

Die Kurzform bestätigt das: $\frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ .

Gleichschenkliges Dreieck mit $a = b = 5$ und $c = 6$ (in cm): $s = 8$ . Nach Heron ist

A = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = 12, \qquad r = \frac{12}{8} = 1{,}5\,\text{cm}

Typische Fehler

Durch den ganzen Umfang statt durch den halben teilen. Dann ist der Radius nur halb so groß.
Inkreis und Umkreis verwechseln: Der Inkreis liegt innen und berührt die Seiten, der Umkreis geht durch die Ecken.
Den Inkreismittelpunkt über die Mittelsenkrechten suchen. Das liefert den Umkreismittelpunkt.

Inkreisradius eines Dreiecks