Satz des Heron

Erklärung

Mit dem Satz des Heron berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn nur die drei Seitenlängen bekannt sind. Man braucht weder eine Höhe noch einen Winkel.

Vorgehen:

1. Den halben Umfang $s = \frac{a + b + c}{2}$ berechnen.
2. Die drei Differenzen $s - a$, $s - b$ und $s - c$ bilden.
3. Alles mit $s$ multiplizieren und die Wurzel ziehen.

Die Formel gilt nur, wenn die drei Längen wirklich ein Dreieck bilden: Jede Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen (Dreiecksungleichung). Dann sind alle Differenzen $s - a$, $s - b$, $s - c$ positiv.

Herleitung

Aus $A = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$ und dem Kosinussatz $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ folgt mit $\sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma$:

Zweimal die dritte binomische Formel angewendet ergibt $16 A^2 = (a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)$. Jeder Faktor ist das Doppelte von $s$, $s - a$, $s - b$ bzw. $s - c$, also $A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)$.

Beispiele

Dreieck mit den Seiten $3\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ und $5\,\text{cm}$: $s = 6\,\text{cm}$ und

Das passt zur Rechnung über die Katheten: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.

Dreieck mit den Seiten $13$, $14$ und $15$: $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ und

Dreieck mit den Seiten $5\,\text{m}$, $6\,\text{m}$ und $7\,\text{m}$: $s = 9\,\text{m}$ und

Typische Fehler

• Mit dem ganzen Umfang statt dem halben rechnen.
• Die Wurzel vergessen und $A^2$ als Ergebnis angeben.
• Die Dreiecksungleichung nicht prüfen. Mit $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$ ist $s - c = 5{,}5 - 6 = -0{,}5$ negativ: Diese Längen bilden kein Dreieck.