Oberfläche eines Kegels

Mittelstufe

O = \pi r^2 + \pi r s

$O$: Oberflächeninhalt des Kegels
$r$: Radius der Grundfläche
$s$: Mantellinie, die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Die Oberfläche eines geraden Kreiskegels ist Grundkreis πr² plus Mantelfläche πrs.

Gerader Kreiskegel mit dem Radius r der Grundfläche und der Mantellinie s

Erklärung

Die Formel gilt für den geraden Kreiskegel, bei dem die Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt. Die Oberfläche besteht aus zwei Teilen:

der Grundfläche, einem Kreis: $\pi r^2$
der Mantelfläche $M = \pi r s$

Dabei ist $s$ die Mantellinie: die schräge Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises. Sie ist nicht die Höhe $h$ . Höhe, Radius und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck, deshalb gilt nach Pythagoras:

s = \sqrt{r^2 + h^2}

Herleitung

Schneidet man den Mantel entlang einer Mantellinie auf und legt ihn flach hin, entsteht ein Kreissektor mit dem Radius $s$ . Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Grundkreises, also $2\pi r$ . Die Fläche eines Kreissektors ist Bogenlänge mal Radius durch 2:

M = \frac{2\pi r \cdot s}{2} = \pi r s

Beispiele

Ein Kegel hat den Radius $r = 3\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 4\,\text{cm}$ . Zuerst die Mantellinie:

s = \sqrt{3^2 + 4^2}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}

Dann die Oberfläche:

O = \pi \cdot (3\,\text{cm})^2 + \pi \cdot 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 9\pi\,\text{cm}^2 + 15\pi\,\text{cm}^2 = 24\pi\,\text{cm}^2 \approx 75{,}40\,\text{cm}^2

Ein Partyhut hat keinen Boden, man braucht nur den Mantel. Bei $r = 8\,\text{cm}$ und $s = 20\,\text{cm}$ :

M = \pi \cdot 8\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 160\pi\,\text{cm}^2 \approx 502{,}65\,\text{cm}^2

Typische Fehler

Die Höhe $h$ statt der Mantellinie $s$ einsetzen. Erst $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ berechnen.
Die Grundfläche vergessen, wenn die ganze Oberfläche gefragt ist.
Den Mantel wie beim Zylinder mit $2\pi r h$ berechnen. Beim Kegel ist er $\pi r s$ .

Oberfläche eines Kegels