Schwerpunkt eines Dreiecks

Mittelstufe

S\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3} \,\middle|\, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

$S$: Schwerpunkt des Dreiecks
$x_A, y_A$: Koordinaten der Ecke A
$x_B, y_B, x_C, y_C$: Koordinaten der Ecken B und C

Der Schwerpunkt eines Dreiecks hat als Koordinaten die Mittelwerte der drei Eckpunkt-Koordinaten.

Dreieck mit A(0|0), B(6|0) und C(3|9); die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt S(3|3)

Erklärung

Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt $S$ . Schneidet man das Dreieck aus Pappe aus, kann man es auf diesem Punkt balancieren.

Im Koordinatensystem ist der Schwerpunkt besonders leicht zu berechnen: Man bildet den Mittelwert der drei x-Koordinaten und den Mittelwert der drei y-Koordinaten.

Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2 : 1$ . Der längere Teil liegt auf der Seite der Ecke.

Beispiele

Dreieck mit $A(0 \mid 0)$ , $B(6 \mid 0)$ und $C(3 \mid 9)$ :

S\left(\frac{0 + 6 + 3}{3} \,\middle|\, \frac{0 + 0 + 9}{3}\right) = S(3 \mid 3)

Dreieck mit $A(1 \mid 2)$ , $B(5 \mid -1)$ und $C(-3 \mid 8)$ :

S\left(\frac{1 + 5 - 3}{3} \,\middle|\, \frac{2 - 1 + 8}{3}\right) = S(1 \mid 3)

Typische Fehler

Durch $2$ statt durch $3$ teilen. Das wäre die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke.
Negative Koordinaten falsch addieren, etwa $1 + 5 + 3$ statt $1 + 5 - 3$ .
Den Schwerpunkt mit dem Umkreis- oder Inkreismittelpunkt verwechseln. Nur beim gleichseitigen Dreieck fallen alle drei zusammen.

Schwerpunkt eines Dreiecks