Raumdiagonale eines Quaders

Mittelstufe

d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Voraussetzung: $a > 0,$ $b > 0,$ $c > 0$

$d$: Länge der Raumdiagonale, der Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken durch das Innere
$a, b, c$: Länge, Breite und Höhe des Quaders

Die Raumdiagonale eines Quaders ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Länge, Breite und Höhe.

Quader mit Länge a, Breite b und Höhe c; Flächendiagonale f und Raumdiagonale d bilden mit c ein rechtwinkliges Dreieck

Erklärung

Die Raumdiagonale eines Quaders verläuft durch das Innere des Körpers von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Sie ist die längste Strecke, die in den Quader passt. Ein Quader hat vier Raumdiagonalen, alle gleich lang.

Davon zu unterscheiden sind die Flächendiagonalen: Sie liegen auf den Seitenflächen, z.B. $\sqrt{a^2 + b^2}$ auf der Grundfläche.

Herleitung

Man wendet den Satz des Pythagoras zweimal an. Zuerst auf der Grundfläche für die Flächendiagonale $f$ :

f^2 = a^2 + b^2

Die Flächendiagonale $f$ , die Höhe $c$ und die Raumdiagonale $d$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das senkrecht im Quader steht:

d^2 = f^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2

Beispiele

Ein Quader hat die Kanten $2\,\text{cm}$ , $3\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$ :

d = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}\,\text{cm} = \sqrt{4 + 9 + 36}\,\text{cm} = \sqrt{49}\,\text{cm} = 7\,\text{cm}

Für einen Quader mit $a = 4\,\text{cm}$ , $b = 3\,\text{cm}$ und $c = 12\,\text{cm}$ in zwei Schritten: Die Flächendiagonale ist $f = \sqrt{4^2 + 3^2}\,\text{cm} = 5\,\text{cm}$ , die Raumdiagonale

d = \sqrt{5^2 + 12^2}\,\text{cm} = \sqrt{169}\,\text{cm} = 13\,\text{cm}

Passt ein $75\,\text{cm}$ langer Stab in eine Kiste mit $60\,\text{cm} \times 40\,\text{cm} \times 30\,\text{cm}$ ?

d = \sqrt{60^2 + 40^2 + 30^2}\,\text{cm} = \sqrt{6100}\,\text{cm} \approx 78{,}1\,\text{cm}

Ja, schräg durch die Kiste passt er hinein.

Typische Fehler

Flächendiagonale und Raumdiagonale verwechseln. Die Raumdiagonale braucht alle drei Kanten.
Im zweiten Schritt mit einer gerundeten Flächendiagonale weiterrechnen. Das erzeugt Rundungsfehler; besser gleich $a^2 + b^2 + c^2$ addieren und erst am Ende die Wurzel ziehen.
Die Wurzel auf die Summanden verteilen: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \neq a + b + c$ .

Raumdiagonale eines Quaders