Volumen einer Kugel

Mittelstufe

V = \frac{4}{3} \pi r^3

$V$: Volumen der Kugel
$r$: Radius der Kugel, der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Das Volumen einer Kugel ist vier Drittel mal π mal Radius hoch 3.

Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r

Erklärung

Eine Kugel ist überall gleich rund: Jeder Punkt der Oberfläche hat den gleichen Abstand $r$ vom Mittelpunkt. Für das Volumen braucht man nur diesen Radius.

Weil $r$ hoch 3 genommen wird, wächst das Volumen sehr schnell: Doppelter Radius heißt achtfaches Volumen.

Ist der Durchmesser $d$ gegeben, rechnet man zuerst $r = \frac{d}{2}$ , oder direkt $V = \frac{\pi d^3}{6}$ .

Ein anschaulicher Vergleich: Eine Kugel passt genau in einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $2r$ . Sie hat zwei Drittel von dessen Volumen.

Beispiele

Eine Kugel hat den Radius $r = 3\,\text{cm}$ :

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3\,\text{cm})^3 = \frac{4}{3} \cdot 27\pi\,\text{cm}^3 = 36\pi\,\text{cm}^3 \approx 113{,}10\,\text{cm}^3

Ein Fußball hat etwa den Durchmesser $22\,\text{cm}$ , also $r = 11\,\text{cm}$ :

V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (11\,\text{cm})^3 = \frac{5324\pi}{3}\,\text{cm}^3 \approx 5575\,\text{cm}^3

Das sind gut $5{,}5$ Liter.

Typische Fehler

$r^2$ statt $r^3$ nehmen. Das Volumen hat drei Längen-Dimensionen, deshalb hoch 3.
Den Durchmesser statt des Radius einsetzen. Das ergibt das achtfache Volumen.
Volumen und Oberfläche verwechseln. Die Oberfläche ist $O = 4\pi r^2$ .

Volumen einer Kugel