Volumen einer Pyramide

Erklärung

Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche und eine Spitze. Alle Ecken der Grundfläche sind mit der Spitze verbunden.

Die Formel gilt für jede Pyramide, egal welche Form die Grundfläche hat und ob die Spitze genau über der Mitte liegt. Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, nicht die Länge einer schrägen Kante.

Eine Pyramide hat genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Veranschaulichung

Ein Würfel lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerlegen, deren Spitze in derselben Würfelecke liegt. Jede hat eine Würfelfläche als Grundfläche und die Kante als Höhe, also $V = \frac{1}{3} a^2 \cdot a$. Das ist nur ein Sonderfall; dass der Faktor $\frac{1}{3}$ für jede Pyramide gilt, zeigt man später mit dem Prinzip von Cavalieri. Mit Wasser lässt es sich auch ausprobieren: Den Inhalt einer hohlen Pyramide muss man dreimal umfüllen, bis ein Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe voll ist.

Beispiele

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seite $6\,\text{cm}$ und ist $5\,\text{cm}$ hoch:

Eine Pyramide hat ein Rechteck mit $4\,\text{m}$ und $3\,\text{m}$ als Grundfläche und ist $10\,\text{m}$ hoch:

Typische Fehler

• Das $\frac{1}{3}$ vergessen. Dann hat man das Volumen eines Prismas.
• Die Seitenkante oder die Höhe einer Seitenfläche statt der Körperhöhe einsetzen. Kennt man nur diese, berechnet man $h$ vorher mit dem Satz des Pythagoras.