Länge eines Kreisbogens

Mittelstufe

b = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r

Voraussetzung: $0^\circ < \alpha \leq 360^\circ$

$b$: Länge des Kreisbogens
$\alpha$: Mittelpunktswinkel in Grad
$r$: Radius des Kreises
$\pi$: Kreiszahl, ungefähr 3,14159

Ein Kreisbogen ist der Anteil α/360° vom ganzen Kreisumfang 2πr.

Kreisbogen b zum Mittelpunktswinkel α in einem Kreis mit Radius r

Erklärung

Ein Kreisbogen ist ein Stück der Kreislinie. Er gehört zu einem Mittelpunktswinkel $\alpha$ : Das ist der Winkel, den die beiden Radien an den Enden des Bogens im Mittelpunkt einschließen.

Der Bogen ist derselbe Anteil vom Umfang, den $\alpha$ vom vollen Winkel $360^\circ$ ausmacht. Bei $\alpha = 90^\circ$ ist das ein Viertel, bei $\alpha = 180^\circ$ die Hälfte des Umfangs.

Der Winkel muss in Grad eingesetzt werden. Für $\alpha = 360^\circ$ erhält man den ganzen Umfang $2\pi r$ .

Beispiele

Ein Kreis hat den Radius $r = 6\,\text{cm}$ , der Mittelpunktswinkel ist $\alpha = 60^\circ$ :

b = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 6\,\text{cm} = \frac{1}{6} \cdot 12\pi\,\text{cm} = 2\pi\,\text{cm} \approx 6{,}28\,\text{cm}

Der Minutenzeiger einer Uhr ist $10\,\text{cm}$ lang. In 15 Minuten dreht er sich um $90^\circ$ . Seine Spitze legt dabei diesen Weg zurück:

b = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 10\,\text{cm} = 5\pi\,\text{cm} \approx 15{,}71\,\text{cm}

Typische Fehler

Mit der Kreisfläche $\pi r^2$ statt mit dem Umfang $2\pi r$ rechnen. Das wäre der Kreissektor.
Den Winkel nicht durch $360^\circ$ teilen, sondern z.B. durch $180^\circ$ oder $100$ .
Einen Winkel im Bogenmaß in die Formel einsetzen. Hier muss $\alpha$ in Grad stehen.

Länge eines Kreisbogens