Oberfläche eines Kegelstumpfs

Oberstufe

\begin{gathered} O = \pi \left(R^2 + r^2 + (R + r)\, s\right) \\ s = \sqrt{(R - r)^2 + h^2} \end{gathered}

Voraussetzung: $R > r > 0$

$O$: Oberfläche (Grundkreis, Deckkreis und Mantel)
$R$: Radius des Grundkreises
$r$: Radius des Deckkreises
$s$: Mantellinie, die schräge Seitenlänge
$h$: Höhe des Stumpfs

Die Oberfläche eines Kegelstumpfs besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel π(R + r)s.

Kegelstumpf mit den Radien R und r, der Höhe h und der Mantellinie s

Erklärung

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel parallel zur Grundfläche die Spitze abschneidet. Ein Eimer oder ein Lampenschirm hat diese Form.

Seine Oberfläche besteht aus drei Teilen:

dem Grundkreis $\pi R^2$ ,
dem Deckkreis $\pi r^2$ ,
dem Mantel $M = \pi (R + r)\, s$ .

Die Mantellinie $s$ ist die schräge Strecke vom Rand des Grundkreises zum Rand des Deckkreises. Man berechnet sie mit dem Satz des Pythagoras im Trapez-Querschnitt: Die Katheten sind die Höhe $h$ und der Radienunterschied $R - r$ .

Für einen offenen Behälter wie einen Eimer lässt man den Deckkreis weg.

Herleitung

Der Mantel ist der Mantel des ganzen Kegels minus der Mantel der abgeschnittenen Spitze. Mit der Mantellinie $S = \frac{sR}{R - r}$ des ganzen Kegels (Strahlensatz) ergibt sich

M = \pi R S - \pi r (S - s) = \pi (R + r)\, s

Beispiele

Ein Kegelstumpf hat $R = 5\,\text{cm}$ , $r = 2\,\text{cm}$ und $h = 4\,\text{cm}$ . Zuerst die Mantellinie:

s = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}

Dann die Oberfläche:

O = \pi \left(25 + 4 + 7 \cdot 5\right) = 64\pi \approx 201{,}06\,\text{cm}^2

Der Mantel allein ist $35\pi \approx 109{,}96\,\text{cm}^2$ .

Typische Fehler

Die Höhe $h$ statt der Mantellinie $s$ in die Mantelformel einsetzen.
Bei der Mantellinie $R + r$ statt $R - r$ als Kathete nehmen.
Bei offenen Gefäßen trotzdem den Deckel mitrechnen, oder bei geschlossenen Körpern einen Kreis vergessen.

Oberfläche eines Kegelstumpfs