Volumen eines Kegelstumpfs

Oberstufe

V = \frac{\pi h}{3} \left(R^2 + R r + r^2\right)

Voraussetzung: $R \geq r \geq 0,$ $R > 0,$ $h > 0$

$V$: Volumen des Kegelstumpfs
$h$: Höhe, der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche
$R$: Radius der größeren Kreisfläche
$r$: Radius der kleineren Kreisfläche
$\pi$: Kreiszahl, etwa 3,14159

Ein Kegelstumpf mit den Radien R und r und der Höhe h hat das Volumen πh/3 · (R² + Rr + r²).

Kegelstumpf mit dem Radius R der Grundfläche, dem Radius r der Deckfläche und der Höhe h

Erklärung

Ein Kegelstumpf entsteht, wenn man von einem Kegel die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidet. Er hat zwei parallele Kreisflächen mit verschiedenen Radien: dem größeren Radius $R$ und dem kleineren Radius $r$ . Typische Beispiele sind Eimer, Blumentöpfe, Trinkbecher und Lampenschirme.

Die Formel enthält zwei Sonderfälle:

$r = 0$ : Der Kegelstumpf ist ein Kegel, $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ .
$r = R$ : Der Körper ist ein Zylinder, $V = \frac{\pi h}{3} \cdot 3R^2 = \pi R^2 h$ .

Herleitung

Für $R > r$ ergänzt man den Kegelstumpf zum ganzen Kegel mit Höhe $H$ und zieht den abgeschnittenen kleinen Kegel mit Höhe $H - h$ ab. Nach dem Strahlensatz gilt $\frac{H - h}{H} = \frac{r}{R}$ , also

H = \frac{hR}{R - r}, \qquad H - h = \frac{hr}{R - r}

Damit:

V = \frac{\pi}{3}\left(R^2 H - r^2 (H - h)\right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{h\left(R^3 - r^3\right)}{R - r} = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right)

Im letzten Schritt wurde $R^3 - r^3 = (R - r)(R^2 + Rr + r^2)$ verwendet.

Beispiele

Ein Kegelstumpf hat $R = 4\,\text{cm}$ , $r = 2\,\text{cm}$ und $h = 6\,\text{cm}$ :

V = \frac{\pi \cdot 6}{3}\left(4^2 + 4 \cdot 2 + 2^2\right)\,\text{cm}^3 = 2\pi \cdot 28\,\text{cm}^3 = 56\pi\,\text{cm}^3 \approx 175{,}93\,\text{cm}^3

Ein Eimer ist $30\,\text{cm}$ hoch, hat oben einen Radius von $15\,\text{cm}$ und unten von $10\,\text{cm}$ . Für die Formel ist egal, ob der größere Kreis oben oder unten liegt:

V = \frac{\pi \cdot 30}{3}\left(15^2 + 15 \cdot 10 + 10^2\right)\,\text{cm}^3 = 4750\pi\,\text{cm}^3 \approx 14\,923\,\text{cm}^3

Das sind etwa $14{,}9$ Liter.

Typische Fehler

Mit dem mittleren Radius wie bei einem Zylinder rechnen: $\pi h \left(\frac{R + r}{2}\right)^2$ . Im ersten Beispiel ergäbe das $54\pi$ statt $56\pi$ , also zu wenig.
Den Faktor $\frac{1}{3}$ vergessen.
Die Mantellinie (schräge Seite) statt der senkrechten Höhe $h$ einsetzen.
Durchmesser statt Radien verwenden.

Volumen eines Kegelstumpfs