Höhe im gleichseitigen Dreieck

Mittelstufe

h = \frac{a}{2} \sqrt{3}

Voraussetzung: $a > 0$

$h$: Höhe, der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite
$a$: Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist die halbe Seitenlänge mal Wurzel aus 3.

Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a; die Höhe h trifft die Grundseite in der Mitte

Erklärung

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle Winkel $60^\circ$ groß. Die drei Höhen sind gleich lang. Jede Höhe trifft die gegenüberliegende Seite genau in der Mitte und teilt das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke.

Rückwärts erhält man die Seitenlänge aus der Höhe:

a = \frac{2h}{\sqrt{3}}

Herleitung

Im halben Dreieck ist die Seite $a$ die Hypotenuse, die halbe Seite $\frac{a}{2}$ und die Höhe $h$ sind die Katheten. Mit dem Satz des Pythagoras:

h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4} a^2 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{a}{2} \sqrt{3}

Beispiele

Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $6\,\text{cm}$ :

h = \frac{6}{2} \sqrt{3}\,\text{cm} = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 5{,}20\,\text{cm}

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist $6\,\text{cm}$ . Die Seitenlänge ist:

a = \frac{2 \cdot 6}{\sqrt{3}}\,\text{cm} = 4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6{,}93\,\text{cm}

Typische Fehler

Beim Pythagoras $\frac{a^2}{2}$ statt $\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$ abziehen. Für $a = 6$ käme $\sqrt{18}$ heraus statt $\sqrt{27}$ .
Die Seite $a$ als Kathete statt als Hypotenuse einsetzen und addieren: $h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$ , nicht $a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .
Die Formel auf andere Dreiecke anwenden. Sie gilt nur, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.

Höhe im gleichseitigen Dreieck