Flächen- und Volumenverhältnis ähnlicher Figuren

Mittelstufe

A' = k^2 \cdot A,\quad V' = k^3 \cdot V

Voraussetzung: $k > 0$

$k$: Streckfaktor, das Verhältnis entsprechender Längen (Bildlänge durch Originallänge)
$A, A'$: Flächeninhalt der Originalfigur und der ähnlichen Bildfigur
$V, V'$: Volumen des Originalkörpers und des ähnlichen Bildkörpers

Werden alle Längen mit k multipliziert, wächst die Fläche mit k² und das Volumen mit k³.

Dreieck mit dem Flächeninhalt A und ähnliches Bilddreieck mit doppelt so langen Seiten (k = 2) und dem Flächeninhalt A'

Erklärung

Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn die eine eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist. Alle Winkel stimmen überein, und alle Längen ändern sich mit demselben Streckfaktor $k$ :

$k > 1$ : Vergrößerung
$0 < k < 1$ : Verkleinerung
$k = 1$ : Die Figuren sind deckungsgleich.

Längen, Flächen und Volumen ändern sich aber unterschiedlich stark:

Längen (auch Umfang, Höhen, Diagonalen): Faktor $k$
Flächen (auch Oberflächen von Körpern): Faktor $k^2$
Volumen: Faktor $k^3$

Herleitung

Ein Rechteck mit den Seiten $a$ und $b$ wird zu einem Rechteck mit den Seiten $ka$ und $kb$ . Seine Fläche ist $ka \cdot kb = k^2 \cdot ab$ . Bei einem Quader kommt die dritte Kante dazu: $ka \cdot kb \cdot kc = k^3 \cdot abc$ . Jede andere Figur lässt sich beliebig genau aus kleinen Rechtecken oder Quadern zusammensetzen, deshalb gilt das allgemein.

Beispiele

Ein Dreieck mit $5\,\text{cm}^2$ Fläche wird mit $k = 3$ vergrößert:

A' = 3^2 \cdot 5\,\text{cm}^2 = 9 \cdot 5\,\text{cm}^2 = 45\,\text{cm}^2

Verdoppelt man den Radius einer Kugel, wird ihr Volumen $2^3 = 8$ -mal so groß.

Ein Modellauto im Maßstab $1 : 20$ hat eine Dachfläche von $0{,}4\,\text{dm}^2$ . Für das echte Auto ist $k = 20$ :

A' = 20^2 \cdot 0{,}4\,\text{dm}^2 = 160\,\text{dm}^2

Sein Volumen ist $20^3 = 8000$ -mal so groß wie das des Modells.

Typische Fehler

Die Fläche mit $k$ statt mit $k^2$ umrechnen. Im ersten Beispiel ergäbe das $15\,\text{cm}^2$ statt $45\,\text{cm}^2$ .
Den Streckfaktor falsch herum bilden. $k$ ist immer Bildlänge durch Originallänge; bei einer Verkleinerung ist $k < 1$ .
Annehmen, dass Figuren mit gleichen Winkeln immer ähnlich sind. Bei Dreiecken stimmt das, bei Rechtecken nicht: Alle Rechtecke haben vier rechte Winkel, sind aber nicht alle ähnlich.

Flächen- und Volumenverhältnis ähnlicher Figuren