Flächeninhalt eines Kreissegments

Oberstufe

A = \frac{r^2}{2} \left(\alpha - \sin \alpha\right)

Voraussetzung: $0 < \alpha < 2\pi,$ $\alpha$ $im Bogenmaß$

$A$: Flächeninhalt des Kreissegments
$r$: Radius des Kreises
$\alpha$: Mittelpunktswinkel über der Sehne, im Bogenmaß

Ein Kreissegment ist die Fläche zwischen Sehne und Bogen; sie ist der Kreissektor minus das Dreieck zum Mittelpunkt.

Kreissegment A zwischen Sehne und Kreisbogen, mit Mittelpunktswinkel α und Radius r

Erklärung

Eine Sehne schneidet vom Kreis ein Stück ab. Dieses Stück zwischen Sehne und Kreisbogen heißt Kreissegment oder Kreisabschnitt.

Man berechnet es als Differenz: Vom Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ zieht man das gleichschenklige Dreieck aus Mittelpunkt und den beiden Sehnenenden ab.

Sektor: $\frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{r^2}{2} \alpha$
Dreieck: $\frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$

Der Winkel muss im Bogenmaß eingesetzt werden. Im Gradmaß lautet die Formel $A = \frac{r^2}{2}\left(\frac{\pi \alpha}{180^\circ} - \sin \alpha\right)$ .

Die Formel gilt auch für $\alpha > \pi$ , also für das größere Segment. Dann ist $\sin \alpha < 0$ , und das Dreieck wird automatisch addiert.

Die Länge der Sehne ist $s = 2r \sin \frac{\alpha}{2}$ .

Beispiele

Kreis mit $r = 6\,\text{cm}$ , Mittelpunktswinkel $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ :

A = \frac{36}{2} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = 9\pi - 18 \approx 10{,}27\,\text{cm}^2

Die zugehörige Sehne ist $s = 12 \sin 45^\circ \approx 8{,}49\,\text{cm}$ lang.

Kreis mit $r = 10\,\text{cm}$ , $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ :

A = 50 \left(\frac{\pi}{3} - \sin 60^\circ\right) \approx 9{,}06\,\text{cm}^2

Typische Fehler

Den Winkel im Gradmaß einsetzen, z.B. $90 - \sin 90^\circ$ . Ohne Umrechnung entsteht ein viel zu großer Wert.
Den Taschenrechner beim Sinus im falschen Modus haben: Gradwinkel im DEG-Modus, Bogenmaß im RAD-Modus.
Sektor und Segment verwechseln. Der Sektor reicht bis zum Mittelpunkt, das Segment nur bis zur Sehne.

Flächeninhalt eines Kreissegments