Algebra

abc-Formel (Mitternachtsformel)

Mittelstufe

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b^2 - 4ac \geq 0$

$a$: Koeffizient vor x²
$b$: Koeffizient vor x
$c$: Absolutglied
$x_{1,2}$: die Lösungen der Gleichung

Berechnet die reellen Lösungen von ax² + bx + c = 0, ohne die Gleichung vorher durch a zu teilen.

Additionsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} a_1 x + b_1 y &= c_1 \ \ | \cdot b_2 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \ \ | \cdot b_1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,x = c_1 b_2 - c_2 b_1

$x, y$: die beiden Unbekannten
$a_1, b_1, a_2, b_2$: Koeffizienten vor x und y in den beiden Gleichungen
$c_1, c_2$: rechte Seiten der beiden Gleichungen

Man multipliziert die Gleichungen so, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt.

Basiswechsel beim Logarithmus

Mittelstufe

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a}

Voraussetzung: $a, c > 0,$ $a, c \neq 1,$ $b > 0$

$a$: ursprüngliche Basis
$b$: Numerus
$c$: neue Basis, meist 10 oder e

Ein Logarithmus zu beliebiger Basis lässt sich mit ln oder lg auf dem Taschenrechner berechnen.

Betrag einer komplexen Zahl

Studium

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Voraussetzung: $z = a + bi,$ $a, b \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$a$: Realteil von z
$b$: Imaginärteil von z
$|z|$: Betrag von z, der Abstand vom Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene

Der Betrag einer komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene.

Betrag einer Zahl

Mittelstufe

|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}

$x$: eine reelle Zahl
$|x|$: Betrag von x, der Abstand von x zur Null auf dem Zahlenstrahl

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf dem Zahlenstrahl und deshalb nie negativ.

Betragsungleichung

Oberstufe

|x - a| \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r

$x$: Variable
$a$: Mittelpunkt des Lösungsintervalls
$r$: größter erlaubter Abstand von a

Der Abstand von x zu a ist höchstens r genau dann, wenn x im Intervall von a − r bis a + r liegt.

Binom hoch drei

Oberstufe

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Die dritte Potenz einer Summe hat vier Summanden mit den Koeffizienten 1, 3, 3, 1.

Binomischer Lehrsatz

Oberstufe

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^{k}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}$

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme
$n$: Exponent, eine natürliche Zahl
$k$: Laufindex der Summe, von 0 bis n
$\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient „n über k“

Beschreibt, wie man eine beliebige Potenz einer Summe mit Binomialkoeffizienten ausmultipliziert.

Biquadratische Gleichung

Oberstufe

ax^4 + bx^2 + c = 0 \;\xrightarrow{\ z = x^2\ }\; az^2 + bz + c = 0

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a, b, c$: Koeffizienten, a ist der Faktor vor x⁴
$x$: gesuchte Variable
$z$: Hilfsvariable, die für x² steht

Eine Gleichung mit nur x⁴, x² und einer Zahl wird mit z = x² zu einer quadratischen Gleichung.

Bruchgleichung lösen

Mittelstufe

\frac{a}{x - p} = \frac{b}{x - q} \;\Rightarrow\; a(x - q) = b(x - p)

Voraussetzung: $x \neq p,$ $x \neq q$

$x$: Variable, die im Nenner vorkommt
$a, b$: Zähler der beiden Brüche
$p, q$: Zahlen, für die ein Nenner null wird (Definitionslücken)

Eine Bruchgleichung löst man, indem man die Definitionsmenge bestimmt und mit dem Hauptnenner multipliziert.

Definition des Logarithmus

Mittelstufe

a^x = b \;\Leftrightarrow\; x = \log_a b

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $b > 0$

$a$: Basis
$b$: Numerus (Zahl, deren Logarithmus gesucht ist)
$x$: Logarithmus, der gesuchte Exponent

Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

Differenz dritter Potenzen

Oberstufe

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Eine Differenz zweier dritter Potenzen lässt sich in (a − b) mal (a² + ab + b²) zerlegen.

Diskriminante

Mittelstufe

D = b^2 - 4ac

Voraussetzung: $ax^2 + bx + c = 0,$ $a \neq 0$

$D$: Diskriminante, der Term unter der Wurzel der abc-Formel
$a$: Koeffizient vor x²
$b$: Koeffizient vor x
$c$: Absolutglied

Die Diskriminante D = b² − 4ac zeigt, ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat.

Distributivgesetz

Unterstufe

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

$a, b, c$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Ein Faktor vor einer Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert.

Division komplexer Zahlen

Studium

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i

Voraussetzung: $a, b, c, d \in \mathbb{R},$ $c + di \neq 0$

$a, b$: Real- und Imaginärteil des Zählers
$c, d$: Real- und Imaginärteil des Nenners
$c - di$: konjugiert komplexe Zahl zum Nenner
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Man dividiert komplexe Zahlen, indem man mit dem konjugierten Nenner erweitert, sodass der Nenner reell wird.

Dreiecksungleichung

Studium

|x + y| \leq |x| + |y|

Voraussetzung: $x, y \in \mathbb{R}$ $oder$ $x,$ $y \in \mathbb{C}$

$x, y$: reelle oder komplexe Zahlen (allgemein Vektoren eines normierten Raums)
$|\cdot|$: Betrag (allgemein Norm)

Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der Beträge.

Dritte binomische Formel

Mittelstufe

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Summe mal Differenz derselben zwei Zahlen ergibt die Differenz ihrer Quadrate.

Einsetzungsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} y &= mx + n \\ ax + by &= c \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad ax + b(mx + n) = c

$x, y$: die beiden Unbekannten
$m, n$: Zahlen in der nach y aufgelösten Gleichung
$a, b, c$: Zahlen in der zweiten Gleichung

Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den Term in die andere Gleichung ein.

Erste binomische Formel

Mittelstufe

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Das Quadrat einer Summe ist die Summe der beiden Quadrate plus das doppelte Produkt.

Eulersche Formel

Studium

e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi

Voraussetzung: $\varphi \in \mathbb{R}$

$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1
$\varphi$: Winkel im Bogenmaß

Die Eulersche Formel verbindet die e-Funktion mit Kosinus und Sinus und beschreibt Punkte auf dem Einheitskreis.

Exponentialgleichung lösen

Mittelstufe

a^x = b \;\Leftrightarrow\; x = \log_a b = \frac{\lg b}{\lg a}

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $b > 0$

$a$: Basis der Potenz
$b$: Wert, den die Potenz annehmen soll
$x$: Unbekannte im Exponenten
$\lg$: Zehnerlogarithmus; jeder andere Logarithmus, z.B. ln, funktioniert genauso

Steht die Unbekannte im Exponenten, löst man die Gleichung durch Logarithmieren beider Seiten.

Formel von Moivre

Studium

\bigl(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)\bigr)

Voraussetzung: $r > 0,$ $\varphi \in \mathbb{R},$ $n \in \mathbb{Z}$

$r$: Betrag der komplexen Zahl
$\varphi$: Argument (Winkel) der komplexen Zahl im Bogenmaß
$n$: Exponent, eine ganze Zahl
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Eine komplexe Zahl in Polarform potenziert man, indem man den Betrag potenziert und den Winkel mit n multipliziert.

Gleichsetzungsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} y &= m_1 x + n_1 \\ y &= m_2 x + n_2 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad m_1 x + n_1 = m_2 x + n_2

$x, y$: die beiden Unbekannten
$m_1, m_2$: Faktoren vor x (Steigungen der zugehörigen Geraden)
$n_1, n_2$: konstante Summanden (y-Achsenabschnitte)

Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die beiden Terme gleich.

Horner-Schema

Oberstufe

p(x_0) = \bigl(\cdots\bigl((a_n x_0 + a_{n-1})\, x_0 + a_{n-2}\bigr)\, x_0 + \cdots + a_1\bigr)\, x_0 + a_0

$p(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$: Polynom vom Grad n
$a_n, \ldots, a_0$: Koeffizienten des Polynoms, fehlende Potenzen mit 0
$x_0$: Stelle, an der das Polynom ausgewertet wird

Das Horner-Schema berechnet Funktionswerte eines Polynoms durch abwechselndes Multiplizieren und Addieren.

Komplexe Zahl in algebraischer Form

Studium

z = a + bi, \qquad i^2 = -1

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$a$: Realteil, a = Re z
$b$: Imaginärteil, b = Im z (eine reelle Zahl, ohne i)
$i$: imaginäre Einheit

Eine komplexe Zahl besteht aus Realteil a und Imaginärteil b, die imaginäre Einheit i erfüllt i² = −1.

Konjugiert komplexe Zahl

Studium

\overline{z} = a - bi, \qquad z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2

Voraussetzung: $z = a + bi,$ $a, b \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$\overline{z}$: konjugiert komplexe Zahl zu z („z quer“)
$a$: Realteil von z
$b$: Imaginärteil von z
$|z|$: Betrag von z

Die konjugiert komplexe Zahl entsteht durch Umkehren des Vorzeichens des Imaginärteils.

Linearfaktorzerlegung quadratischer Terme

Mittelstufe

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $x_1, x_2$ $sind reelle Nullstellen von$ $ax^2 + bx + c$

$a, b, c$: Koeffizienten
$x_1, x_2$: Nullstellen des Terms

Ein quadratischer Term mit reellen Nullstellen lässt sich als Produkt aus a und zwei Linearfaktoren schreiben.

Logarithmus einer Potenz

Mittelstufe

\log_a \left(u^r\right) = r \cdot \log_a u

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $u > 0,$ $r \in \mathbb{R}$

$a$: Basis
$u$: positive Zahl
$r$: beliebiger Exponent

Der Exponent im Logarithmus darf als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden.

Logarithmus eines Produkts

Mittelstufe

\log_a (u \cdot v) = \log_a u + \log_a v

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $u, v > 0$

$a$: Basis
$u, v$: positive Zahlen

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Logarithmus eines Quotienten

Mittelstufe

\log_a \frac{u}{v} = \log_a u - \log_a v

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $u, v > 0$

$a$: Basis
$u, v$: positive Zahlen

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.

Logarithmus und Potenz als Umkehrung

Mittelstufe

a^{\log_a x} = x, \qquad \log_a\left(a^x\right) = x

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1;$ $links$ $x > 0,$ $rechts$ $x \in \mathbb{R}$

$a$: Basis von Potenz und Logarithmus, für beide dieselbe
$x$: links der Numerus (positive Zahl), rechts ein beliebiger Exponent

Potenzieren und Logarithmieren zur selben Basis heben sich gegenseitig auf.

Lösungsformel für ein lineares 2×2-Gleichungssystem

Mittelstufe

x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}

Voraussetzung: $a_1 x + b_1 y = c_1,$ $a_2 x + b_2 y = c_2,$ $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$

$x, y$: die eindeutige Lösung des Gleichungssystems
$a_1, b_1, c_1$: Koeffizienten und rechte Seite der ersten Gleichung
$a_2, b_2, c_2$: Koeffizienten und rechte Seite der zweiten Gleichung
$a_1 b_2 - a_2 b_1$: Hauptnenner, die Determinante des Systems

Ein lineares System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lässt sich direkt mit zwei Brüchen lösen.

Multiplikation komplexer Zahlen

Studium

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i

Voraussetzung: $a, b, c, d \in \mathbb{R}$

$a, b$: Real- und Imaginärteil des ersten Faktors
$c, d$: Real- und Imaginärteil des zweiten Faktors
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Komplexe Zahlen multipliziert man durch Ausmultiplizieren, wobei man i² durch −1 ersetzt.

n-te Wurzeln einer komplexen Zahl

Studium

z_k = \sqrt[n]{r}\,\Bigl(\cos\frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\Bigr)

Voraussetzung: $w = r\,e^{i\varphi},$ $r > 0,$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1,$ $k = 0, 1, \ldots, n-1$

$w$: komplexe Zahl, deren Wurzeln gesucht sind (Lösungen von zⁿ = w)
$r$: Betrag von w
$\varphi$: Argument (Winkel) von w im Bogenmaß
$n$: Wurzelexponent
$k$: Nummer der Lösung
$z_k$: die n verschiedenen Lösungen von zⁿ = w
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Die Gleichung zⁿ = w hat für w ≠ 0 genau n verschiedene komplexe Lösungen, die ein regelmäßiges n-Eck bilden.

Natürlicher Logarithmus

Oberstufe

\ln x = y \;\Leftrightarrow\; e^y = x

Voraussetzung: $x > 0$

$x$: Numerus, eine positive Zahl
$y$: natürlicher Logarithmus von x, eine beliebige reelle Zahl
$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Der natürliche Logarithmus ln x ist der Exponent, mit dem man e potenzieren muss, um x zu erhalten.

Negative Exponenten und Exponent null

Mittelstufe

a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^0 = 1

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $n \in \mathbb{Z}$

$a$: Basis
$n$: Exponent, eine ganze Zahl

Eine Potenz mit negativem Exponenten ist der Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten.

Nenner rational machen

Mittelstufe

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}, \qquad \frac{a}{\sqrt{b} + c} = \frac{a\left(\sqrt{b} - c\right)}{b - c^2}

Voraussetzung: $b > 0,$ $b \neq c^2$

$a$: Zähler, eine beliebige reelle Zahl
$b$: positiver Radikand im Nenner
$c$: reelle Zahl, die im Nenner zur Wurzel addiert wird

Eine Wurzel im Nenner verschwindet, wenn man mit der Wurzel oder mit dem passenden Term für die dritte binomische Formel erweitert.

Normalform einer quadratischen Gleichung

Mittelstufe

ax^2 + bx + c = 0 \iff x^2 + px + q = 0 \quad \text{mit } p = \frac{b}{a},\ q = \frac{c}{a}

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a, b, c$: Koeffizienten der allgemeinen Form, a ist der Faktor vor x²
$p, q$: Koeffizienten der Normalform
$x$: Variable

Teilt man eine quadratische Gleichung durch den Faktor vor x², erhält man die Normalform x² + px + q = 0.

p-q-Formel

Mittelstufe

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Voraussetzung: $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \geq 0$

$p$: Koeffizient vor x in der Normalform
$q$: Absolutglied in der Normalform
$x_{1,2}$: die Lösungen der Gleichung

Berechnet die reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform x² + px + q = 0.

Polarform einer komplexen Zahl

Studium

z = r\,(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r\,e^{i\varphi}

Voraussetzung: $r = |z| \geq 0,$ $\varphi \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$r$: Betrag von z, der Abstand vom Ursprung
$\varphi$: Argument von z, der Winkel zur positiven reellen Achse im Bogenmaß
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1
$e$: Eulersche Zahl

Die Polarform beschreibt eine komplexe Zahl durch ihren Betrag r und ihren Winkel φ zur reellen Achse.

Polynomdivision

Oberstufe

p(x) = q(x) \cdot d(x) + r(x)

Voraussetzung: $d \neq 0,$ $\operatorname{grad} r < \operatorname{grad} d$

$p(x)$: Polynom, das geteilt wird (Dividend)
$d(x)$: Polynom, durch das geteilt wird (Divisor), nicht das Nullpolynom
$q(x)$: Ergebnis der Division (Quotient)
$r(x)$: Rest, mit kleinerem Grad als d(x)

Ein Polynom lässt sich wie eine Zahl schriftlich durch ein anderes teilen; bei einer Nullstelle bleibt kein Rest.

Potenz einer Potenz

Mittelstufe

\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}

Voraussetzung: $m, n \in \mathbb{Z},$ $a \neq 0$

$a$: Basis
$m, n$: Exponenten (Hochzahlen)

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Potenz mit Exponent null

Mittelstufe

a^0 = 1

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a$: Basis, eine beliebige Zahl ungleich null

Jede Zahl ungleich null, hoch 0 genommen, ergibt 1.

Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren

Mittelstufe

a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

Voraussetzung: $n \in \mathbb{Z},$ $a, b \neq 0$

$a, b$: Basen
$n$: gemeinsamer Exponent

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert.

Potenzen mit gleicher Basis dividieren

Mittelstufe

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Voraussetzung: $m, n \in \mathbb{Z},$ $a \neq 0$

$a$: Basis
$m, n$: Exponenten (Hochzahlen)

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Mittelstufe

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Voraussetzung: $m, n \in \mathbb{Z},$ $a \neq 0$

$a$: Basis
$m, n$: Exponenten (Hochzahlen)

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Mittelstufe

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

Voraussetzung: $a > 0,$ $m, n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$a$: positive Basis
$m$: Zähler des Exponenten
$n$: Nenner des Exponenten, wird zum Wurzelexponenten

Ein Bruch im Exponenten bedeutet Wurzel und Potenz, ein Minus davor den Kehrwert; die Potenzgesetze gelten weiter.

Quadratische Ergänzung

Mittelstufe

x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2

$x$: Variable
$p$: Koeffizient vor x

Formt einen quadratischen Term so um, dass ein Binom entsteht, z.B. für die Scheitelpunktform.

Rechenregeln für Ungleichungen

Mittelstufe

a < b \;\Rightarrow\; \begin{cases} a + c < b + c \\ a \cdot c < b \cdot c, & c > 0 \\ a \cdot c > b \cdot c, & c < 0 \end{cases}

$a, b$: beide Seiten der Ungleichung, reelle Zahlen oder Terme
$c$: Zahl, die auf beiden Seiten addiert oder mit der multipliziert wird

Ungleichungen formt man wie Gleichungen um, nur bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen um.

Satz vom Nullprodukt

Mittelstufe

a \cdot b = 0 \;\Leftrightarrow\; a = 0 \;\lor\; b = 0

$a, b$: reelle Zahlen oder Terme, die Faktoren des Produkts
$\lor$: „oder“, mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist.

Satz von Vieta

Mittelstufe

x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q

Voraussetzung: $x_1, x_2$ $sind die Nullstellen von$ $x^2 + px + q$

$x_1, x_2$: die Lösungen der Gleichung
$p$: Koeffizient vor x in der Normalform
$q$: Absolutglied in der Normalform

Summe und Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform hängen direkt von p und q ab.

Summe dritter Potenzen

Oberstufe

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Eine Summe zweier dritter Potenzen lässt sich in (a + b) mal (a² − ab + b²) zerlegen.

Wurzel als Potenz

Mittelstufe

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Voraussetzung: $a \geq 0\ (a > 0 \text{ für } m < 0),$ $m \in \mathbb{Z},$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 2$

$a$: Radikand (Zahl unter der Wurzel)
$n$: Wurzelexponent
$m$: Exponent des Radikanden, eine ganze Zahl

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben, dann gelten die Potenzgesetze.

Wurzel aus einer Wurzel

Mittelstufe

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

Voraussetzung: $a \geq 0,$ $m, n \in \mathbb{N},$ $m, n \geq 2$

$a$: Radikand, eine Zahl größer oder gleich null
$m$: Wurzelexponent der äußeren Wurzel
$n$: Wurzelexponent der inneren Wurzel

Zieht man aus einer Wurzel noch einmal eine Wurzel, werden die Wurzelexponenten multipliziert.

Wurzelgleichung lösen

Mittelstufe

\sqrt{T(x)} = S(x) \;\Rightarrow\; T(x) = S(x)^2

Voraussetzung: $T(x) \geq 0$

$x$: Variable
$T(x)$: Term unter der Wurzel (Radikand)
$S(x)$: Term auf der anderen Seite der Gleichung

Eine Wurzelgleichung löst man durch Isolieren und Quadrieren der Wurzel; die Probe sortiert Scheinlösungen aus.

Wurzeln dividieren

Mittelstufe

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Voraussetzung: $a \geq 0,$ $b > 0$

$a$: Radikand im Zähler
$b$: Radikand im Nenner

Der Quotient zweier Wurzeln ist die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden.

Wurzeln multiplizieren

Mittelstufe

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

Voraussetzung: $a, b \geq 0$

$a, b$: Radikanden (Zahlen unter der Wurzel)

Das Produkt zweier Wurzeln ist die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden.

Zwei Klammern ausmultiplizieren

Mittelstufe

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

$a, b, c, d$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der einen mit jedem der anderen multipliziert.

Zweite binomische Formel

Mittelstufe

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Das Quadrat einer Differenz ist die Summe der beiden Quadrate minus das doppelte Produkt.