Wurzelgleichung lösen

Erklärung

Eine Wurzelgleichung enthält die Variable unter einer Wurzel. Man löst sie so:

1. Die Wurzel auf einer Seite isolieren, alles andere auf die andere Seite bringen.
2. Beide Seiten quadrieren. Die Wurzel verschwindet.
3. Die entstandene Gleichung lösen, oft ist sie quadratisch.
4. Probe mit jeder Lösung in der Ausgangsgleichung.

Die Probe ist Pflicht. Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung: Aus $\sqrt{T} = S$ folgt $T = S^2$, aber aus $T = S^2$ folgt nur $\sqrt{T} = |S|$. Ist $S$ an einer Stelle negativ, entsteht eine Scheinlösung. Sie erfüllt die quadrierte Gleichung, aber nicht die Ausgangsgleichung, weil eine Wurzel nie negativ ist.

Außerdem muss der Radikand $T(x)$ nicht negativ sein, sonst ist die Wurzel nicht definiert.

Beispiele

Einfacher Fall:

Probe: $\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Also $\mathbb{L} = \{5\}$.

Mit Scheinlösung:

Die quadratische Gleichung hat die Lösungen $x = 2$ und $x = -3$. Probe:

• $x = 2$: $\sqrt{9} = 3$ und $2 + 1 = 3$. Stimmt.
• $x = -3$: $\sqrt{4} = 2$, aber $-3 + 1 = -2$. Stimmt nicht.

Also $\mathbb{L} = \{2\}$.

Erst isolieren:

Lösungen $x = 1$ und $x = 4$. Probe: $\sqrt{4} + 2 = 4$ stimmt, $\sqrt{1} + 2 = 3 \neq 1$ nicht. Also $\mathbb{L} = \{4\}$.

Typische Fehler

• Die Probe weglassen und die Scheinlösung $x = -3$ mit angeben.
• Quadrieren, bevor die Wurzel allein steht: $\left(\sqrt{x} + 2\right)^2 = x + 4\sqrt{x} + 4$, die Wurzel ist dann immer noch da.
• Summanden einzeln quadrieren: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$, nicht $x^2 + 1$.