Komplexe Zahl in algebraischer Form

Erklärung

In den reellen Zahlen hat $x^2 = -1$ keine Lösung. Die komplexen Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit $i$ mit $i^2 = -1$. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der algebraischen Form (auch kartesische Form) $z = a + bi$ schreiben. Die Menge aller komplexen Zahlen heißt $\mathbb{C}$.

• Der Realteil ist $\operatorname{Re} z = a$, der Imaginärteil ist $\operatorname{Im} z = b$. Beide sind reelle Zahlen.
• Für $b = 0$ ist $z$ reell, für $a = 0$ und $b \neq 0$ heißt $z$ rein imaginär.
• Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn Realteile und Imaginärteile übereinstimmen.

In der Gaußschen Zahlenebene stellt man $z = a + bi$ als Punkt $(a \mid b)$ dar: Realteil nach rechts, Imaginärteil nach oben.

Gerechnet wird wie mit Termen, wobei man $i^2$ durch $-1$ ersetzt. Addition und Subtraktion erfolgen getrennt nach Real- und Imaginärteil. Die Potenzen von $i$ wiederholen sich mit der Periode $4$:

Beispiele

Quadratische Gleichung mit negativer Diskriminante: $x^2 + 2x + 5 = 0$ hat $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -16$. Mit $\sqrt{-16} = 4i$ liefert die abc-Formel

Typische Fehler

• Den Imaginärteil mit $i$ angeben: Für $z = 3 - 5i$ ist $\operatorname{Im} z = -5$, nicht $-5i$.
• Das Wurzelgesetz für negative Radikanden verwenden: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} \neq \sqrt{36} = 6$. Richtig ist $2i \cdot 3i = 6i^2 = -6$.
• $i^2 = 1$ rechnen. Die imaginäre Einheit ist gerade so festgelegt, dass $i^2 = -1$ gilt.
• Komplexe Zahlen der Größe nach vergleichen. Auf $\mathbb{C}$ gibt es keine mit den Rechenregeln verträgliche Anordnung; $2i > i$ ist keine sinnvolle Aussage.