Nenner rational machen

Mittelstufe

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}, \qquad \frac{a}{\sqrt{b} + c} = \frac{a\left(\sqrt{b} - c\right)}{b - c^2}

Voraussetzung: $b > 0,$ $b \neq c^2$

$a$: Zähler, eine beliebige reelle Zahl
$b$: positiver Radikand im Nenner
$c$: reelle Zahl, die im Nenner zur Wurzel addiert wird

Eine Wurzel im Nenner verschwindet, wenn man mit der Wurzel oder mit dem passenden Term für die dritte binomische Formel erweitert.

Erklärung

Ein Bruch mit einer Wurzel im Nenner ist unpraktisch: Man kann schlecht mit ihm weiterrechnen und ihn schlecht abschätzen. Deshalb erweitert man so, dass die Wurzel aus dem Nenner verschwindet. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht.

Zwei Fälle:

Steht nur eine Wurzel $\sqrt{b}$ im Nenner, erweitert man mit $\sqrt{b}$ . Wegen $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$ ist der Nenner danach wurzelfrei.
Steht eine Summe oder Differenz wie $\sqrt{b} + c$ im Nenner, erweitert man mit dem Term, der sich nur im Rechenzeichen unterscheidet, hier $\sqrt{b} - c$ . Nach der dritten binomischen Formel wird der Nenner zu $b - c^2$ .

Das gilt auch für zwei Wurzeln im Nenner: $\sqrt{u} - \sqrt{v}$ erweitert man mit $\sqrt{u} + \sqrt{v}$ und erhält $u - v$ .

Beispiele

\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

\frac{4}{\sqrt{5} + 1} = \frac{4\left(\sqrt{5} - 1\right)}{\left(\sqrt{5} + 1\right)\left(\sqrt{5} - 1\right)} = \frac{4\left(\sqrt{5} - 1\right)}{5 - 1} = \sqrt{5} - 1

Mit einer Differenz im Nenner erweitert man mit der Summe:

\frac{1}{3 - \sqrt{2}} = \frac{3 + \sqrt{2}}{\left(3 - \sqrt{2}\right)\left(3 + \sqrt{2}\right)} = \frac{3 + \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}

Zwei Wurzeln im Nenner:

\frac{5}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{5\left(\sqrt{7} + \sqrt{2}\right)}{7 - 2} = \sqrt{7} + \sqrt{2}

Typische Fehler

Nur den Nenner mit der Wurzel multiplizieren. Erweitern heißt: Zähler und Nenner mit demselben Term multiplizieren.
Bei einer Summe nur mit der Wurzel erweitern: $\left(\sqrt{5} + 1\right) \cdot \sqrt{5} = 5 + \sqrt{5}$ enthält immer noch eine Wurzel. Man braucht die dritte binomische Formel.
Den Nenner $b - c^2$ falsch berechnen: $\left(3 - \sqrt{2}\right)\left(3 + \sqrt{2}\right) = 9 - 2 = 7$ , nicht $9 - 4$ oder $3 - 2$ .

Nenner rational machen