Formel von Moivre

Studium

\bigl(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)\bigr)

Voraussetzung: $r > 0,$ $\varphi \in \mathbb{R},$ $n \in \mathbb{Z}$

$r$: Betrag der komplexen Zahl
$\varphi$: Argument (Winkel) der komplexen Zahl im Bogenmaß
$n$: Exponent, eine ganze Zahl
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Eine komplexe Zahl in Polarform potenziert man, indem man den Betrag potenziert und den Winkel mit n multipliziert.

Erklärung

Die Formel von Moivre beschreibt das Potenzieren komplexer Zahlen in Polarform: Der Betrag wird hoch $n$ genommen, der Winkel mit $n$ multipliziert. In der Exponentialform ist das nur ein Potenzgesetz:

\left(r\,e^{i\varphi}\right)^n = r^n e^{in\varphi}

Sie gilt für alle ganzen Zahlen $n$ , auch für negative Exponenten. Dafür muss die Zahl ungleich null sein, also $r > 0$ , denn durch $0$ lässt sich nicht teilen. Für nicht ganze Exponenten gilt sie nicht allgemein.

Anwendungen:

Hohe Potenzen komplexer Zahlen berechnen, ohne $n$ -mal auszumultiplizieren.
Vielfachwinkelformeln herleiten: Man multipliziert $(\cos\varphi + i\sin\varphi)^n$ mit dem binomischen Lehrsatz aus und vergleicht Real- und Imaginärteil.
Grundlage für die Berechnung der $n$ -ten Wurzeln komplexer Zahlen.

Herleitung

Nach der Eulerschen Formel ist $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$ . Mit dem Potenzgesetz $(e^{i\varphi})^n = e^{in\varphi}$ und noch einmal der Eulerschen Formel folgt $\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)$ . Ohne Exponentialfunktion lässt sich die Formel durch vollständige Induktion mit den Additionstheoremen beweisen.

Beispiele

$(1 + i)^8$ : Es ist $r = \sqrt{2}$ und $\varphi = \frac{\pi}{4}$ , also

(1 + i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 \left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16

$(1 + \sqrt{3}\,i)^6$ : Es ist $r = 2$ und $\varphi = \frac{\pi}{3}$ , also

(1 + \sqrt{3}\,i)^6 = 2^6 \left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 64

Doppelwinkelformeln aus $n = 2$ :

\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi = (\cos\varphi + i\sin\varphi)^2 = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi + 2i\sin\varphi\cos\varphi

Der Vergleich der Real- und Imaginärteile liefert $\cos 2\varphi = \cos^2\varphi - \sin^2\varphi$ und $\sin 2\varphi = 2\sin\varphi\cos\varphi$ . Ebenso folgt aus $n = 3$ die Formel $\cos 3\varphi = \cos^3\varphi - 3\cos\varphi\sin^2\varphi$ .

Typische Fehler

Den Betrag vergessen oder mit $n$ multiplizieren. Der Betrag wird potenziert: $\left(\sqrt{2}\right)^8 = 16$ , nicht $\sqrt{2}$ und nicht $8\sqrt{2}$ .
Den Winkel potenzieren statt mit $n$ zu multiplizieren: Es heißt $\cos(n\varphi)$ , nicht $\cos(\varphi^n)$ oder $\cos^n\varphi$ .
Die Potenz in algebraischer Form gliedweise bilden: $(1 + i)^8 \neq 1^8 + i^8 = 2$ .

Formel von Moivre