Definition des Logarithmus

Mittelstufe

a^x = b \;\Leftrightarrow\; x = \log_a b

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $b > 0$

$a$: Basis
$b$: Numerus (Zahl, deren Logarithmus gesucht ist)
$x$: Logarithmus, der gesuchte Exponent

Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

Erklärung

Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss ich $a$ potenzieren, um $b$ zu erhalten?“ Er ist damit die Umkehrung des Potenzierens und wird gebraucht, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

Die Basis $a$ muss positiv und ungleich $1$ sein, der Numerus $b$ positiv. Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von $0$ gibt es in den reellen Zahlen nicht.

Besondere Schreibweisen:

$\lg b = \log_{10} b$ (Zehnerlogarithmus)
$\ln b = \log_e b$ (natürlicher Logarithmus, Basis $e \approx 2{,}718$ )

Für jede zulässige Basis gilt $\log_a 1 = 0$ und $\log_a a = 1$ .

Beispiele

\log_2 8 = 3, \quad \text{weil } 2^3 = 8

\lg 1000 = 3, \quad \text{weil } 10^3 = 1000

\log_3 \tfrac{1}{9} = -2, \quad \text{weil } 3^{-2} = \tfrac{1}{9}

Typische Fehler

Basis und Numerus vertauschen: $\log_2 8$ fragt nach dem Exponenten zur Basis $2$ , nicht zur Basis $8$ .
Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von $0$ berechnen wollen: $\log_2 (-4)$ ist nicht definiert.
Ein negatives Ergebnis für unmöglich halten: Der Logarithmus selbst kann negativ sein, z.B. $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ .

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