Gleichsetzungsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} y &= m_1 x + n_1 \\ y &= m_2 x + n_2 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad m_1 x + n_1 = m_2 x + n_2

$x, y$: die beiden Unbekannten
$m_1, m_2$: Faktoren vor x (Steigungen der zugehörigen Geraden)
$n_1, n_2$: konstante Summanden (y-Achsenabschnitte)

Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die beiden Terme gleich.

Erklärung

Das Gleichsetzungsverfahren löst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Es bietet sich an, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind oder sich leicht danach auflösen lassen.

Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, z.B. nach $y$ .
Die beiden Terme gleichsetzen. Es entsteht eine Gleichung nur mit $x$ .
Nach $x$ auflösen.
$x$ in eine der aufgelösten Gleichungen einsetzen, $y$ berechnen.

Anschaulich sind die beiden Gleichungen Geraden. Gleichsetzen heißt: die Stelle suchen, an der beide denselben $y$ -Wert haben, also den Schnittpunkt.

Bei $m_1 \neq m_2$ gibt es genau eine Lösung. Bei $m_1 = m_2$ sind die Geraden parallel: keine Lösung, oder unendlich viele, wenn auch $n_1 = n_2$ ist.

Beispiele

\begin{aligned} \text{I:}\ \ y &= 3x - 4 \\ \text{II:}\ \ y &= -x + 8 \end{aligned}

Gleichsetzen:

3x - 4 = -x + 8 \;\Rightarrow\; 4x = 12 \;\Rightarrow\; x = 3

Einsetzen in I: $y = 3 \cdot 3 - 4 = 5$ . Probe in II: $-3 + 8 = 5$ . Die Lösung ist $(3 \mid 5)$ .

Tarifvergleich: Tarif A kostet $5$ € Grundgebühr plus $0{,}10$ € pro Minute, Tarif B $0{,}15$ € pro Minute ohne Grundgebühr. Ab wann sind beide gleich teuer? Mit $t$ Minuten:

5 + 0{,}10\,t = 0{,}15\,t \;\Rightarrow\; 5 = 0{,}05\,t \;\Rightarrow\; t = 100

Bei $100$ Minuten kosten beide Tarife $15$ €. Wer mehr telefoniert, fährt mit Tarif A günstiger.

Typische Fehler

Beim Umstellen das Vorzeichen falsch übertragen: Aus $3x - 4 = -x + 8$ wird $3x + x = 8 + 4$ , nicht $3x - x = 8 - 4$ .
Gleichungen gleichsetzen, die nach verschiedenen Variablen aufgelöst sind, z.B. $y = \ldots$ mit $x = \ldots$ .
Nur $x$ angeben. Die Lösung ist das Zahlenpaar $(x \mid y)$ .

Gleichsetzungsverfahren