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Eulersche Formel

Eulersche Formel

Studium
eiφ=cos⁡φ+isin⁡φe^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi

Voraussetzung: φ∈R\varphi \in \mathbb{R}

ee
Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
ii
imaginäre Einheit mit i² = −1
φ\varphi
Winkel im Bogenmaß

Die Eulersche Formel verbindet die e-Funktion mit Kosinus und Sinus und beschreibt Punkte auf dem Einheitskreis.

Erklärung

Die Eulersche Formel verbindet die Exponentialfunktion mit den Winkelfunktionen. Setzt man in die e-Funktion eine rein imaginäre Zahl iφi\varphi ein, erhält man eine komplexe Zahl mit Realteil cos⁡φ\cos\varphi und Imaginärteil sin⁡φ\sin\varphi.

Wegen cos⁡2φ+sin⁡2φ=1\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1 gilt ∣eiφ∣=1\left|e^{i\varphi}\right| = 1: Die Zahl eiφe^{i\varphi} liegt auf dem Einheitskreis, und zwar beim Winkel φ\varphi zur positiven reellen Achse. Daraus folgt die Polarform z=r eiφz = r\,e^{i\varphi}.

Wichtige Folgerungen:

  • Besondere Werte: eiπ/2=ie^{i\pi/2} = i, eiπ=−1e^{i\pi} = -1, e2πi=1e^{2\pi i} = 1.
  • Eulersche Identität: eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0.
  • Kosinus und Sinus durch die e-Funktion: cos⁡φ=eiφ+e−iφ2\cos\varphi = \dfrac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}, sin⁡φ=eiφ−e−iφ2i\sin\varphi = \dfrac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}.
  • Aus ei(α+β)=eiα⋅eiβe^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} folgen durch Vergleich von Real- und Imaginärteil die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus.

Herleitung

Man setzt iφi\varphi in die Potenzreihe ex=∑k=0∞xkk!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} ein. Wegen i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1 werden die Glieder mit geradem kk reell, die mit ungeradem kk imaginär:

eiφ=(1−φ22!+φ44!−…)+i(φ−φ33!+φ55!−…)e^{i\varphi} = \left(1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - \ldots\right) + i\left(\varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} - \ldots\right)

Die erste Klammer ist die Reihe von cos⁡φ\cos\varphi, die zweite die von sin⁡φ\sin\varphi.

Beispiele

eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1+0i=−1e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1eiπ/3=cos⁡π3+isin⁡π3=12+32 ie^{i\pi/3} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,ieiπ/2=cos⁡π2+isin⁡π2=ie^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = i

Typische Fehler

  • Den Winkel in Grad einsetzen: ei⋅180e^{i \cdot 180} ist nicht −1-1, denn 180180 wird als Bogenmaß gelesen. Richtig ist eiπ=−1e^{i\pi} = -1.
  • Sinus und Kosinus vertauschen. Der Realteil ist cos⁡φ\cos\varphi, der Imaginärteil sin⁡φ\sin\varphi.
  • ∣eiφ∣=eφ\left|e^{i\varphi}\right| = e^{\varphi} annehmen. Für reelles φ\varphi ist der Betrag immer 11.

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