Normalform einer quadratischen Gleichung

Mittelstufe

ax^2 + bx + c = 0 \iff x^2 + px + q = 0 \quad \text{mit } p = \frac{b}{a},\ q = \frac{c}{a}

Voraussetzung: $a \neq 0$

Teilt man eine quadratische Gleichung durch den Faktor vor x², erhält man die Normalform x² + px + q = 0.

Erklärung

Eine quadratische Gleichung kann in verschiedenen Formen vorkommen. Zum Lösen bringt man sie zuerst in eine von zwei Standardformen:

Allgemeine Form: $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Mit ihr arbeitet die abc-Formel.
Normalform: $x^2 + px + q = 0$ . Vor $x^2$ steht $1$ . Mit ihr arbeitet die p-q-Formel.

So kommt man zur Normalform:

Klammern ausmultiplizieren und alle Terme auf eine Seite bringen, sodass rechts $0$ steht.
Nach Potenzen ordnen: erst $x^2$ , dann $x$ , dann die Zahl.
Jeden Summanden durch den Faktor $a$ vor $x^2$ teilen.

Ist $a = 0$ , fehlt der quadratische Term. Dann ist die Gleichung linear und keine quadratische Gleichung mehr.

Durch $3$ teilen:

3x^2 - 12x + 9 = 0 \;\;\big|\; :3 \qquad x^2 - 4x + 3 = 0

Also $p = -4$ und $q = 3$ . Die Lösungen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$ .

Erst umformen:

2x(x - 3) = x^2 - 5 \;\Rightarrow\; 2x^2 - 6x = x^2 - 5 \;\Rightarrow\; x^2 - 6x + 5 = 0

Hier ist $a = 1$ , die Gleichung steht schon in Normalform. Die Lösungen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 5$ .

Durch eine negative Zahl teilen:

-0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0 \;\;\big|\; :(-0{,}5) \qquad x^2 - 4x - 12 = 0

Alle Vorzeichen drehen sich um. Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 6$ .

Nur den Term mit $x^2$ durch $a$ teilen: Aus $3x^2 - 12x + 9 = 0$ wird $x^2 - 4x + 3 = 0$ , nicht $x^2 - 12x + 9 = 0$ .
Beim Teilen durch eine negative Zahl die Vorzeichen nicht umdrehen.
Die p-q-Formel verwenden, bevor rechts eine $0$ steht. Bei $2x(x - 3) = x^2 - 5$ müssen erst alle Terme auf eine Seite.