Biquadratische Gleichung

Erklärung

Eine biquadratische Gleichung enthält nur die Potenzen $x^4$, $x^2$ und eine Zahl, aber kein $x^3$ und kein $x$. Weil $x^4 = (x^2)^2$ ist, kann man sie mit einer Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen:

1. Substituieren: $x^2$ durch $z$ ersetzen, $x^4$ durch $z^2$.
2. Die quadratische Gleichung für $z$ lösen, z.B. mit der p-q-Formel.
3. Resubstituieren: Für jede Lösung $z$ die Gleichung $x^2 = z$ lösen.
   • $z > 0$: zwei Lösungen $x = \pm\sqrt{z}$,
   • $z = 0$: die Lösung $x = 0$,
   • $z < 0$: keine reelle Lösung.

Eine biquadratische Gleichung hat deshalb höchstens vier reelle Lösungen. Sie liegen symmetrisch zur $0$, weil mit $x$ auch $-x$ eine Lösung ist.

Beispiele

Lösungen für $z$: $z_1 = 4$ und $z_2 = 9$. Resubstitution:

Vier Lösungen: $\mathbb{L} = \{-3;\ -2;\ 2;\ 3\}$.

Mit einer negativen Lösung für $z$:

Lösungen $z_1 = 1$ und $z_2 = -4$. Aus $x^2 = 1$ folgt $x = \pm 1$. Die Gleichung $x^2 = -4$ hat keine reelle Lösung. Also $\mathbb{L} = \{-1;\ 1\}$.

Fehlt die Zahl, klammert man besser aus, statt zu substituieren:

Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt $x = 0$ oder $x = \pm 2$.

Typische Fehler

• Die Resubstitution vergessen und $z_1 = 4$, $z_2 = 9$ als Lösungen angeben. Gesucht ist $x$, nicht $z$.
• Nur die positive Wurzel nehmen: Aus $x^2 = 4$ folgt $x = 2$ oder $x = -2$.
• Aus einer negativen Lösung $z$ eine Wurzel ziehen wollen. $x^2 = -4$ hat keine reelle Lösung.
• Die Substitution bei Gleichungen mit $x^3$ oder $x$ verwenden. Sie funktioniert nur, wenn ausschließlich gerade Potenzen vorkommen.