Division komplexer Zahlen

Studium

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i

Voraussetzung: $a, b, c, d \in \mathbb{R},$ $c + di \neq 0$

$a, b$: Real- und Imaginärteil des Zählers
$c, d$: Real- und Imaginärteil des Nenners
$c - di$: konjugiert komplexe Zahl zum Nenner
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Man dividiert komplexe Zahlen, indem man mit dem konjugierten Nenner erweitert, sodass der Nenner reell wird.

Erklärung

Einen Bruch mit komplexem Nenner bringt man in die Form $x + yi$ , indem man Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert. Weil $(c + di)(c - di) = c^2 + d^2$ gilt, wird der Nenner dadurch reell, und man kann Realteil und Imaginärteil getrennt ablesen.

Durch $0$ kann auch in $\mathbb{C}$ nicht geteilt werden, deshalb muss $c + di \neq 0$ sein, also $c$ und $d$ nicht beide null.

Geometrisch werden bei der Division die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert (siehe Polarform). Für den Kehrwert gilt

\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}

Beispiele

\frac{5 + 5i}{1 + 2i} = \frac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{5 - 10i + 5i - 10i^2}{1 + 4} = \frac{15 - 5i}{5} = 3 - i

\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{1} = -i

Kehrwert von $3 + 4i$ :

\frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 - 4i}{25} = 0{,}12 - 0{,}16i

Typische Fehler

Realteil durch Realteil und Imaginärteil durch Imaginärteil teilen: $\frac{5 + 5i}{1 + 2i} \neq 5 + 2{,}5i$ .
Mit dem Nenner selbst statt mit seiner Konjugierten erweitern. Dann bleibt der Nenner komplex: $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$ .
Im Nenner $c^2 - d^2$ rechnen. Wegen $i^2 = -1$ ist $(c + di)(c - di) = c^2 + d^2$ .

Division komplexer Zahlen