Konjugiert komplexe Zahl

Studium

\overline{z} = a - bi, \qquad z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2

Voraussetzung: $z = a + bi,$ $a, b \in \mathbb{R}$

$z$: komplexe Zahl
$\overline{z}$: konjugiert komplexe Zahl zu z („z quer“)
$a$: Realteil von z
$b$: Imaginärteil von z
$|z|$: Betrag von z

Die konjugiert komplexe Zahl entsteht durch Umkehren des Vorzeichens des Imaginärteils.

Erklärung

Zu $z = a + bi$ bildet man die konjugiert komplexe Zahl $\overline{z}$ , indem man nur das Vorzeichen des Imaginärteils umkehrt. In der Gaußschen Zahlenebene ist das die Spiegelung an der reellen Achse.

Das Produkt $z \cdot \overline{z}$ ist immer reell und nicht negativ, nämlich das Quadrat des Betrags. Deshalb braucht man die Konjugation vor allem, um bei der Division den Nenner reell zu machen.

Rechenregeln:

$z + \overline{z} = 2\operatorname{Re} z$ und $z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im} z$
$\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$ und $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$
$\overline{\overline{z}} = z$ , und $z = \overline{z}$ gilt genau dann, wenn $z$ reell ist.

Hat ein Polynom nur reelle Koeffizienten, treten seine nicht reellen Nullstellen immer als konjugierte Paare $z$ , $\overline{z}$ auf.

Herleitung

z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2

Das ist die dritte binomische Formel mit $i^2 = -1$ .

Beispiele

Für $z = 3 + 4i$ ist $\overline{z} = 3 - 4i$ und

z \cdot \overline{z} = 9 + 16 = 25 = |z|^2, \qquad z + \overline{z} = 6

Für $z = -2 - 5i$ ist $\overline{z} = -2 + 5i$ .

Die Gleichung $x^2 - 4x + 13 = 0$ hat die konjugierten Lösungen $x_{1,2} = 2 \pm 3i$ .

Typische Fehler

Auch das Vorzeichen des Realteils umkehren. $-a - bi$ ist $-z$ , nicht $\overline{z}$ .
Beim Produkt $i^2 = -1$ vergessen und $z \cdot \overline{z} = a^2 - b^2$ rechnen. Richtig ist $a^2 + b^2$ .
$z \cdot \overline{z}$ mit $z^2$ verwechseln: $(3 + 4i)^2 = -7 + 24i$ , aber $(3 + 4i)(3 - 4i) = 25$ .

Konjugiert komplexe Zahl