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Potenz einer Potenz

Potenz einer Potenz

Mittelstufe
(am)n=am⋅n\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}

Voraussetzung: m,n∈Z,m, n \in \mathbb{Z}, a≠0a \neq 0

aa
Basis
m,nm, n
Exponenten (Hochzahlen)

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Erklärung

Wird eine Potenz noch einmal potenziert, bleibt die Basis gleich und die Exponenten werden multipliziert. Für ganzzahlige Exponenten gilt das bei jeder Basis a≠0a \neq 0, für gebrochene oder reelle Exponenten bei a>0a > 0.

Herleitung

Für natürliche Exponenten nach der Regel für gleiche Basen:

(a3)2=a3⋅a3=a3+3=a6\left(a^3\right)^2 = a^3 \cdot a^3 = a^{3+3} = a^{6}

Beispiele

(23)2=26=64\left(2^3\right)^2 = 2^6 = 64(x2)5=x10\left(x^2\right)^5 = x^{10}

Typische Fehler

  • Exponenten addieren statt multiplizieren: (x2)5≠x7\left(x^2\right)^5 \neq x^7.
  • Klammern weglassen: (23)2=64\left(2^3\right)^2 = 64, aber 232=29=5122^{3^2} = 2^9 = 512. Ohne Klammer wird der obere Exponent zuerst berechnet.
  • Negative Basis ohne Klammer: −22=−4-2^2 = -4, aber (−2)2=4(-2)^2 = 4.

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