Additionsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} a_1 x + b_1 y &= c_1 \ \ | \cdot b_2 \\ a_2 x + b_2 y &= c_2 \ \ | \cdot b_1 \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,x = c_1 b_2 - c_2 b_1

$x, y$: die beiden Unbekannten
$a_1, b_1, a_2, b_2$: Koeffizienten vor x und y in den beiden Gleichungen
$c_1, c_2$: rechte Seiten der beiden Gleichungen

Man multipliziert die Gleichungen so, dass beim Addieren oder Subtrahieren eine Variable wegfällt.

Erklärung

Beim Additionsverfahren addiert (oder subtrahiert) man die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems so, dass eine Variable verschwindet. Das ist erlaubt, weil man auf beiden Seiten einer Gleichung Gleiches addiert.

Beide Gleichungen in die Form $a x + b y = c$ bringen, gleiche Variablen untereinander.
Eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen multiplizieren, dass vor einer Variablen entgegengesetzt gleiche (oder gleiche) Zahlen stehen.
Die Gleichungen addieren (oder subtrahieren). Eine Variable fällt weg.
Nach der verbliebenen Variablen auflösen.
Den Wert in eine Ausgangsgleichung einsetzen und die zweite Variable berechnen.

Die Formel oben zeigt den allgemeinen Fall: Erste Gleichung mal $b_2$ , zweite mal $b_1$ , dann subtrahieren. Ist $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ , gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

Das Verfahren ist besonders praktisch, wenn keine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist. In der Oberstufe wird es zum Gauß-Algorithmus erweitert.

Beispiele

\begin{aligned} \text{I:}\ \ 2x + 3y &= 12 \\ \text{II:}\ \ 5x - 3y &= 9 \end{aligned}

Vor $y$ stehen schon $+3$ und $-3$ . Addieren: $7x = 21$ , also $x = 3$ . Einsetzen in I: $6 + 3y = 12$ , also $y = 2$ . Probe in II: $5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 9$ . Lösung $(3 \mid 2)$ .

Hier muss erst multipliziert werden:

\begin{aligned} \text{I:}\ \ 3x + 2y &= 7 \quad | \cdot 5 \\ \text{II:}\ \ 4x + 5y &= 7 \quad | \cdot 2 \end{aligned}

Das ergibt $15x + 10y = 35$ und $8x + 10y = 14$ . Subtrahieren:

7x = 21 \;\Rightarrow\; x = 3

Einsetzen in I: $9 + 2y = 7$ , also $y = -1$ . Probe in II: $4 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) = 7$ . Lösung $(3 \mid -1)$ .

Typische Fehler

Nur die linke Seite multiplizieren: Aus $3x + 2y = 7$ wird mal $5$ die Gleichung $15x + 10y = 35$ , nicht $15x + 10y = 7$ .
Beim Subtrahieren die Vorzeichen falsch behandeln: Jeder Summand der zweiten Gleichung wird abgezogen, auch die rechte Seite.
Addieren, obwohl die Zahlen gleich (statt entgegengesetzt) sind. Dann verdoppelt sich die Variable, statt wegzufallen; man muss subtrahieren.

Additionsverfahren