Logarithmus eines Produkts

Mittelstufe

\log_a (u \cdot v) = \log_a u + \log_a v

Voraussetzung: $a > 0,$ $a \neq 1,$ $u, v > 0$

$a$: Basis
$u, v$: positive Zahlen

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Erklärung

Der Logarithmus verwandelt eine Multiplikation in eine Addition. Das folgt aus dem Potenzgesetz $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ , denn Logarithmen sind Exponenten. Die Regel gilt für jede Basis, also auch für $\lg$ und $\ln$ .

Man nutzt sie, um Terme zu vereinfachen oder in Summen zu zerlegen, etwa beim Lösen von Exponentialgleichungen.

Herleitung

Mit $x = \log_a u$ und $y = \log_a v$ ist $u = a^x$ und $v = a^y$ . Dann gilt

u \cdot v = a^x \cdot a^y = a^{x+y} \quad\Rightarrow\quad \log_a (u \cdot v) = x + y

Beispiele

\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5

\lg 200 = \lg 2 + \lg 100 \approx 0{,}301 + 2 = 2{,}301

Typische Fehler

Die Regel auf Summen anwenden: $\log_a (u + v) \neq \log_a u + \log_a v$ . Für den Logarithmus einer Summe gibt es keine Vereinfachung.
Logarithmen multiplizieren: $\log_a u \cdot \log_a v$ ist etwas anderes als $\log_a (u \cdot v)$ .

Logarithmus eines Produkts