Summe dritter Potenzen

Oberstufe

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Eine Summe zweier dritter Potenzen lässt sich in (a + b) mal (a² − ab + b²) zerlegen.

Erklärung

Anders als die Summe zweier Quadrate $a^2 + b^2$ , die sich über den reellen Zahlen nicht zerlegen lässt, kann man eine Summe zweier dritter Potenzen faktorisieren. Ein Faktor ist $(a + b)$ , der andere ein quadratischer Term.

Der zweite Faktor $a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2$ ist nur für $a = b = 0$ gleich null. Die Gleichung $x^3 + b^3 = 0$ hat deshalb nur die reelle Lösung $x = -b$ .

Die Formel entsteht aus der Differenz dritter Potenzen, wenn man dort $b$ durch $-b$ ersetzt.

Herleitung

Ausmultiplizieren der rechten Seite:

(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3

Beispiele

x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)

8y^3 + 1 = (2y)^3 + 1^3 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)

Gleichung: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ hat nur die reelle Lösung $x = -1$ .

Kopfrechnen:

4^3 + 6^3 = (4 + 6)(16 - 24 + 36) = 10 \cdot 28 = 280

Typische Fehler

$(a + b)^3$ mit $a^3 + b^3$ verwechseln: $(1 + 2)^3 = 27$ , aber $1^3 + 2^3 = 9$ .
Im zweiten Faktor $+ab$ schreiben. Bei der Summe steht $-ab$ , bei der Differenz $+ab$ . Merkhilfe: Das Vorzeichen im ersten Faktor ist dasselbe wie in der Aufgabe, das von $ab$ ist das entgegengesetzte.
Annehmen, dass sich $a^3 + b^3$ wie $a^2 + b^2$ nicht zerlegen lässt.

Summe dritter Potenzen