abc-Formel (Mitternachtsformel)

Mittelstufe

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $b^2 - 4ac \geq 0$

Berechnet die reellen Lösungen von ax² + bx + c = 0, ohne die Gleichung vorher durch a zu teilen.

Erklärung

Die abc-Formel löst quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form

ax^2 + bx + c = 0

Im Unterschied zur p-q-Formel muss man die Gleichung nicht vorher durch $a$ teilen. Für $a = 0$ ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear.

Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ unter der Wurzel ab:

Man teilt durch $a$ und wendet die quadratische Ergänzung an:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \;\Leftrightarrow\; \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Wurzelziehen und Auflösen nach $x$ ergibt die Formel.

$2x^2 + 3x - 2 = 0$ , also $a = 2$ , $b = 3$ , $c = -2$ :

D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25 \qquad x_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{4}

Damit ist $x_1 = 0{,}5$ und $x_2 = -2$ .

$x^2 - 6x + 9 = 0$ : Hier ist $D = 36 - 36 = 0$ , die einzige Lösung ist $x = 3$ .

Der Bruchstrich gilt für den ganzen Zähler: $-b \pm \sqrt{D}$ wird durch $2a$ geteilt, nicht nur die Wurzel.
Vorzeichen von $b$ : Bei $b = -6$ ist $-b = +6$ .
Haben $a$ und $c$ verschiedene Vorzeichen, wird $-4ac$ positiv: $-4 \cdot 2 \cdot (-2) = +16$ .