Rechenregeln für Ungleichungen

Erklärung

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit $<$, $>$, $\leq$ oder $\geq$. Man löst sie fast wie eine Gleichung. Die Lösung ist aber meist keine einzelne Zahl, sondern ein ganzer Bereich, z.B. alle $x < -2$.

Erlaubt sind diese Umformungen:

• Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Das Zeichen bleibt.
• Beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. Das Zeichen bleibt.
• Beide Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren. Das Zeichen dreht sich um: aus $<$ wird $>$, aus $\leq$ wird $\geq$.

Warum dreht es sich? Aus $2 < 5$ wird nach Multiplikation mit $-1$ die Aussage $-2 > -5$. Negative Zahlen liegen gespiegelt auf dem Zahlenstrahl.

Eine weitere Regel: Bei zwei positiven Zahlen dreht sich das Zeichen auch beim Bilden der Kehrwerte um. Aus $0 < a < b$ folgt $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Beispiele

Beim Teilen durch $-3$ wird aus $>$ ein $<$. Probe mit $x = -3$: $-3 \cdot (-3) + 5 = 14 > 11$, stimmt. An der Grenze $x = -2$ ergibt sich genau $11$.

Probe mit $x = 4$: $2 \cdot 4 - 1 = 7 \leq 8$, stimmt. Bei $x = 5$ sind beide Seiten $9$.

Kehrwerte: $2 < 4$, aber $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$.

Typische Fehler

• Beim Dividieren durch eine negative Zahl das Zeichen nicht umdrehen. Aus $-3x > 6$ wird $x < -2$, nicht $x > -2$.
• Mit einem Term multiplizieren, dessen Vorzeichen man nicht kennt, z.B. mit $x$. Dann muss man Fälle unterscheiden ($x > 0$ und $x < 0$).
• Beide Seiten quadrieren, obwohl eine negativ sein kann: $-3 < 2$, aber $(-3)^2 = 9 > 4$.