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Logarithmus eines Quotienten

Logarithmus eines Quotienten

Mittelstufe
log⁡auv=log⁡au−log⁡av\log_a \frac{u}{v} = \log_a u - \log_a v

Voraussetzung: a>0,a > 0, a≠1,a \neq 1, u,v>0u, v > 0

aa
Basis
u,vu, v
positive Zahlen

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen von Zähler und Nenner.

Erklärung

Der Logarithmus verwandelt eine Division in eine Subtraktion. Das folgt aus dem Potenzgesetz axay=ax−y\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}. Ein Sonderfall ist der Kehrwert:

log⁡a1v=−log⁡av\log_a \frac{1}{v} = -\log_a v

Beispiele

log⁡3819=log⁡381−log⁡39=4−2=2\log_3 \frac{81}{9} = \log_3 81 - \log_3 9 = 4 - 2 = 2lg⁡0,01=lg⁡1100=lg⁡1−lg⁡100=0−2=−2\lg 0{,}01 = \lg \frac{1}{100} = \lg 1 - \lg 100 = 0 - 2 = -2

Typische Fehler

  • Logarithmen dividieren: log⁡aulog⁡av≠log⁡au−log⁡av\frac{\log_a u}{\log_a v} \neq \log_a u - \log_a v. Der Quotient zweier Logarithmen gehört zum Basiswechsel.
  • Die Reihenfolge vertauschen: Es ist Logarithmus des Zählers minus Logarithmus des Nenners.

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