p-q-Formel

Mittelstufe

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}

Voraussetzung: $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \geq 0$

Berechnet die reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform x² + px + q = 0.

Erklärung

Die p-q-Formel liefert die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in Normalform vorliegt:

x^2 + px + q = 0

Vor $x^2$ muss also eine $1$ stehen. Steht dort ein anderer Faktor, teilt man vorher die ganze Gleichung durch diesen Faktor.

Wie viele Lösungen es gibt, entscheidet der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ :

Die Formel entsteht durch quadratische Ergänzung mit der ersten binomischen Formel:

x^2 + px + q = 0 \;\Leftrightarrow\; \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q

Wurzelziehen und Auflösen nach $x$ ergibt die p-q-Formel.

Gesucht sind die Lösungen von $x^2 - 5x + 6 = 0$ , also $p = -5$ und $q = 6$ :

x_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5

Damit ist $x_1 = 3$ und $x_2 = 2$ .

Die Gleichung steht nicht in Normalform, z.B. $2x^2 + 4x - 6 = 0$ . Erst durch $2$ teilen.
Vorzeichen von $p$ und $q$ falsch übernommen: Bei $x^2 - 5x + 6$ ist $p = -5$ , also $-\frac{p}{2} = +2{,}5$ .