Multiplikation komplexer Zahlen

Studium

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)\,i

Voraussetzung: $a, b, c, d \in \mathbb{R}$

$a, b$: Real- und Imaginärteil des ersten Faktors
$c, d$: Real- und Imaginärteil des zweiten Faktors
$i$: imaginäre Einheit mit i² = −1

Komplexe Zahlen multipliziert man durch Ausmultiplizieren, wobei man i² durch −1 ersetzt.

Erklärung

Man multipliziert zwei komplexe Zahlen wie zwei Klammern: jeden Summanden mit jedem. Danach ersetzt man $i^2$ durch $-1$ und sortiert nach Realteil und Imaginärteil. Die Formel muss man nicht auswendig lernen, wenn man diesen Weg kennt.

Geometrisch gilt: Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert (siehe Polarform). Ein Sonderfall ist die Multiplikation mit $i$ : Sie dreht eine Zahl in der Gaußschen Zahlenebene um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn, ohne den Betrag zu ändern.

Die Multiplikation ist kommutativ und assoziativ, und das Distributivgesetz gilt wie bei reellen Zahlen.

Herleitung

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd\,i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)\,i

Beispiele

(3 + 2i)(1 - 4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2 = 3 + 8 - 10i = 11 - 10i

Quadrieren mit der ersten binomischen Formel:

(2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i

Drehung um $90^\circ$ :

i \cdot (4 + 3i) = 4i + 3i^2 = -3 + 4i

Typische Fehler

Nur Realteile und Imaginärteile miteinander multiplizieren: $(3 + 2i)(1 - 4i) \neq 3 - 8i$ . Die gemischten Produkte fehlen.
Das Vorzeichen bei $i^2$ vergessen: $-8i^2 = +8$ , nicht $-8$ .
Beim Quadrieren den mittleren Term weglassen: $(2 + i)^2 \neq 4 + i^2 = 3$ .

Multiplikation komplexer Zahlen