Potenz mit Exponent null

Mittelstufe

a^0 = 1

Voraussetzung: $a \neq 0$

$a$: Basis, eine beliebige Zahl ungleich null

Jede Zahl ungleich null, hoch 0 genommen, ergibt 1.

Erklärung

Eine Potenz mit dem Exponenten $0$ hat immer den Wert $1$ , egal wie groß die Basis ist. Das gilt für positive und negative Basen, für Brüche und für Terme, solange die Basis nicht null ist.

Man sieht das an einer Reihe von Zweierpotenzen. Wird der Exponent um $1$ kleiner, teilt man durch $2$ :

2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = 1

Der Ausdruck $0^0$ ist davon ausgenommen. In der Schule lässt man ihn meist undefiniert. In vielen Gebieten (Kombinatorik, Potenzreihen, binomischer Lehrsatz) wird $0^0 = 1$ dagegen als Konvention festgelegt, weil sich Formeln dadurch einheitlich schreiben lassen. Als Grenzwert ist $0^0$ unbestimmt.

Herleitung

Teilt man eine Potenz durch sich selbst, kommt $1$ heraus. Nach der Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis werden dabei die Exponenten subtrahiert:

\frac{a^n}{a^n} = 1 \qquad\text{und}\qquad \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0

Damit das Potenzgesetz auch hier gilt, muss $a^0 = 1$ sein. Für $a = 0$ funktioniert die Rechnung nicht, weil man nicht durch $0^n = 0$ teilen darf.

Beispiele

7^0 = 1, \qquad (-3)^0 = 1, \qquad \left(\tfrac{2}{5}\right)^0 = 1

Der Term $x^2 + 1$ ist für jedes $x$ mindestens $1$ , also nie null. Deshalb gilt für alle $x$ :

(x^2 + 1)^0 = 1

Ein Faktor vor der Potenz bleibt stehen:

4 \cdot x^0 = 4 \cdot 1 = 4 \qquad (x \neq 0)

Typische Fehler

$a^0 = 0$ oder $a^0 = a$ annehmen. Richtig ist $a^0 = 1$ .
Klammern übersehen: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , aber $(-3)^0 = 1$ .
Den Faktor mit potenzieren: $4x^0 = 4$ , nicht $1$ . Nur $(4x)^0$ ist $1$ .
Die Regel auf die Basis $0$ übertragen. $0^0 = 1$ gilt nur dort, wo es ausdrücklich als Konvention vereinbart ist; in der Schule bleibt $0^0$ meist undefiniert.

Potenz mit Exponent null