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Binom hoch drei

Binom hoch drei

Oberstufe
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
a,ba, b
beliebige reelle Zahlen oder Terme

Die dritte Potenz einer Summe hat vier Summanden mit den Koeffizienten 1, 3, 3, 1.

Erklärung

Die Formel gibt an, was beim Ausmultiplizieren von (a+b)3(a+b)^3 herauskommt. Die Koeffizienten 1,3,3,11, 3, 3, 1 stehen in der vierten Zeile des Pascalschen Dreiecks.

Für eine Differenz wechseln die Vorzeichen ab:

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Höhere Potenzen wie (a+b)4(a+b)^4 berechnet man mit dem binomischen Lehrsatz.

Herleitung

Man schreibt (a+b)3=(a+b)2⋅(a+b)(a+b)^3 = (a+b)^2 \cdot (a+b) und nutzt die erste binomische Formel:

(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3(a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Beispiele

(x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1(x−2)3=x3−6x2+12x−8(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8

Typische Fehler

  • (a+b)3=a3+b3(a+b)^3 = a^3 + b^3 ist falsch. Die beiden mittleren Terme fehlen.
  • Bei der Differenz das Vorzeichen des letzten Terms vergessen: (x−2)3(x-2)^3 endet mit −8-8, weil (−2)3=−8(-2)^3 = -8.
  • Die Faktoren falsch potenzieren: 3⋅x⋅22=12x3 \cdot x \cdot 2^2 = 12x, nicht 6x6x.

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