Erste binomische Formel

Mittelstufe

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$a, b$: beliebige reelle Zahlen oder Terme

Das Quadrat einer Summe ist die Summe der beiden Quadrate plus das doppelte Produkt.

Erklärung

Die erste binomische Formel beschreibt, was beim Quadrieren einer Summe herauskommt. Es reicht nicht, nur $a$ und $b$ einzeln zu quadrieren: Es kommt immer noch der gemischte Term $2ab$ dazu.

Die Formel funktioniert in beide Richtungen:

von links nach rechts zum Ausmultiplizieren,
von rechts nach links zum Faktorisieren, z.B. bei der quadratischen Ergänzung.

Herleitung

Man schreibt das Quadrat als Produkt und multipliziert jeden Summanden mit jedem:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Geometrisch: Ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ zerfällt in ein Quadrat $a^2$ , ein Quadrat $b^2$ und zwei Rechtecke mit der Fläche $ab$ .

Beispiele

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

(2y+5)^2 = 4y^2 + 20y + 25

Kopfrechnen mit der Formel:

41^2 = (40+1)^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

Typische Fehler

$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ ist falsch. Der gemischte Term $2ab$ fehlt.
Bei Faktoren vor der Variablen wird der ganze Summand quadriert: $(2y)^2 = 4y^2$ , nicht $2y^2$ .

Erste binomische Formel