Satz von Vieta

Erklärung

Hat die quadratische Gleichung in Normalform $x^2 + px + q = 0$ die Lösungen $x_1$ und $x_2$, dann gilt:

• Die Summe der Lösungen ist $-p$.
• Das Produkt der Lösungen ist $q$.

Umgekehrt gilt: Zwei Zahlen mit Summe $-p$ und Produkt $q$ sind genau die Lösungen der Gleichung. Bei einer doppelten Lösung ist $x_1 = x_2$; hat die Gleichung keine reelle Lösung, gibt es auch keine solchen reellen Zahlen.

Damit kann man bei ganzzahligen Lösungen diese oft im Kopf erraten, Ergebnisse der p-q-Formel schnell kontrollieren oder aus vorgegebenen Lösungen eine Gleichung aufstellen.

Herleitung

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen, lässt sich der Term in Linearfaktoren zerlegen:

Koeffizientenvergleich liefert $p = -(x_1 + x_2)$ und $q = x_1 x_2$.

Beispiele

Kontrolle für $x^2 - 5x + 6 = 0$ mit den Lösungen $2$ und $3$: $2 + 3 = 5 = -p$ und $2 \cdot 3 = 6 = q$.

Lösungen raten für $x^2 + x - 12 = 0$: Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt $-12$ und Summe $-1$. Das sind $3$ und $-4$, also $x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4)$.

Gleichung aufstellen mit den Lösungen $2$ und $-7$: $p = -(2 - 7) = 5$ und $q = 2 \cdot (-7) = -14$, also

Typische Fehler

• Vorzeichen: Die Summe ist $-p$, nicht $p$.
• Den Satz auf eine Gleichung anwenden, die nicht in Normalform steht. Bei $2x^2 + \ldots$ erst durch $2$ teilen.