Einsetzungsverfahren

Mittelstufe

\begin{aligned} y &= mx + n \\ ax + by &= c \end{aligned} \quad\Rightarrow\quad ax + b(mx + n) = c

$x, y$: die beiden Unbekannten
$m, n$: Zahlen in der nach y aufgelösten Gleichung
$a, b, c$: Zahlen in der zweiten Gleichung

Man löst eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt den Term in die andere Gleichung ein.

Erklärung

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten $x$ und $y$ besteht aus zwei Gleichungen, die beide gleichzeitig erfüllt sein sollen. Beim Einsetzungsverfahren macht man daraus eine Gleichung mit nur einer Unbekannten:

Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, z.B. nach $y$ . Am besten die Gleichung, bei der das am einfachsten geht.
Den Term für $y$ in Klammern in die andere Gleichung einsetzen.
Diese Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$ in die aufgelöste Gleichung einsetzen und $y$ berechnen.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen.

Das Verfahren ist praktisch, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist.

Sonderfälle: Fällt nach dem Einsetzen auch die zweite Variable weg, gibt es entweder keine Lösung (eine falsche Aussage wie $-2 = 3$ bleibt übrig) oder unendlich viele Lösungen (eine wahre Aussage wie $0 = 0$ ).

Beispiele

\begin{aligned} \text{I:}\ \ y &= 2x - 1 \\ \text{II:}\ \ 3x + 2y &= 12 \end{aligned}

I ist schon nach $y$ aufgelöst. Einsetzen in II:

3x + 2(2x - 1) = 12 \;\Rightarrow\; 7x - 2 = 12 \;\Rightarrow\; x = 2

Dann $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Probe in II: $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$ . Die Lösung ist $(2 \mid 3)$ .

Zweites Beispiel, hier wird zuerst aufgelöst:

\begin{aligned} \text{I:}\ \ x + 3y &= 7 \\ \text{II:}\ \ 2x - y &= 0 \end{aligned}

Aus I folgt $x = 7 - 3y$ . Einsetzen in II:

2(7 - 3y) - y = 0 \;\Rightarrow\; 14 - 7y = 0 \;\Rightarrow\; y = 2

Dann $x = 7 - 3 \cdot 2 = 1$ . Probe: $1 + 3 \cdot 2 = 7$ und $2 \cdot 1 - 2 = 0$ . Die Lösung ist $(1 \mid 2)$ .

Sonderfall: Aus $y = 2x + 1$ und $4x - 2y = 3$ wird $4x - 2(2x + 1) = 3$ , also $-2 = 3$ . Das ist falsch, das System hat keine Lösung. Die beiden zugehörigen Geraden sind parallel.

Typische Fehler

Die Klammer vergessen: $2(7 - 3y)$ ist $14 - 6y$ , nicht $14 - 3y$ .
In dieselbe Gleichung einsetzen, aus der der Term stammt. Dann kommt immer $0 = 0$ heraus, obwohl das System eine eindeutige Lösung haben kann.
Nach $x$ aufhören: Gesucht ist ein Zahlenpaar, $y$ muss auch berechnet werden.

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