Linearfaktorzerlegung quadratischer Terme

Mittelstufe

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

Voraussetzung: $a \neq 0,$ $x_1, x_2$ $sind reelle Nullstellen von$ $ax^2 + bx + c$

$a, b, c$: Koeffizienten
$x_1, x_2$: Nullstellen des Terms

Ein quadratischer Term mit reellen Nullstellen lässt sich als Produkt aus a und zwei Linearfaktoren schreiben.

Erklärung

Kennt man die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ eines quadratischen Terms, kann man ihn als Produkt schreiben. Jeder Faktor $(x - x_1)$ heißt Linearfaktor. Der Faktor $a$ vor $x^2$ muss davor stehen bleiben.

Nützlich ist die Form, um

Nullstellen direkt abzulesen,
Bruchterme zu kürzen,
aus vorgegebenen Nullstellen eine Funktion aufzustellen.

Hat der Term nur eine (doppelte) Nullstelle, gilt $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$ . Hat er keine reelle Nullstelle, gibt es keine Zerlegung in reelle Linearfaktoren.

Beispiele

$2x^2 + 3x - 2$ hat die Nullstellen $0{,}5$ und $-2$ (siehe abc-Formel):

2x^2 + 3x - 2 = 2(x - 0{,}5)(x + 2)

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Kürzen eines Bruchterms (für $x \neq 2$ und $x \neq 3$ ):

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+3}{x-2}

Typische Fehler

Den Faktor $a$ vergessen: $2x^2 + 3x - 2 \neq (x - 0{,}5)(x + 2)$ .
Vorzeichen im Linearfaktor: Zur Nullstelle $-2$ gehört $(x + 2)$ , nicht $(x - 2)$ .

Linearfaktorzerlegung quadratischer Terme